(Esta pregunta surgió en una conversación con mi profesor la semana pasada).
Sea $\langle G,\cdot \rangle$ sea un grupo. Sea $x$ sea un elemento de $G$ .
¿Existe siempre un isomorfismo $f : G \to G$ tal que $f(x) = x^{-1}$ ?
¿Y si $G$ ¿es finito?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
El grupo Mathieu $M_{11}$ no tiene esta propiedad. Una cita del Ejemplo 2.16 en este documento : "Por lo tanto no existe ningún automorfismo de $M_{11}$ que mapea $x$ a $x^{−1}$ ."
Antecedentes de cómo encontré esta cita, ya que no soy un teórico de los grupos: Utilicé Google en "grupos sin automorfismo exterior" que me llevó a esto Artículo de Wikipedia y de ahí salté a este otro Artículo de Wikipedia . Así que me enteré de que $M_{11}$ no tiene automorfismo exterior. Entonces volví a utilizar Google sobre "elementos conjugados a su inverso en el grupo mathieu" que me llevó al artículo mencionado.
EDITAR: Siguiendo el comentario de Geoff Robinson permítanme mostrar que cualquier elemento $x\in M_{11}$ de orden 11 tiene esta propiedad, utilizando sólo la teoría básica de grupos y la anterior Artículo de Wikipedia . El artículo nos dice que $M_{11}$ tiene 7920 elementos de los cuales 1440 tienen orden 11. Así que $M_{11}$ tiene 1440/10=144 subgrupos de Sylow 11, cada uno cíclico de orden 11. Estos subgrupos son conjugados entre sí por uno de los teoremas de Sylow, por lo que cada uno de ellos tiene un subgrupo normalizador de orden 7920/144=55. En particular, si $x$ y $x^{-1}$ eran conjugables entre sí, entonces lo eran por un elemento de orden impar. Esto, sin embargo, es imposible ya que cualquier elemento de orden impar actúa trivialmente sobre un conjunto de 2 elementos.
Robert Durgin
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Vetle
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He aquí un comentario que bien podría escribirse. Si $f$ debe ser un automorfismo interno, entonces para $G$ finita esta pregunta puede entenderse utilizando la tabla de caracteres de $G$ :
$x$ es conjugada con su inversa si y sólo si $\chi(x)$ es real para todos los personajes $\chi$ .
Desde $\chi(x^{-1}) = \overline{ \chi(x) }$ una dirección está clara. En la otra dirección, si $\chi(x)$ es real entonces $\chi(x) = \chi(x^{-1})$ para todos los caracteres $\chi$ Por lo tanto $c(x) = c(x^{-1})$ para todas las funciones de clase $c$ . También se obtiene el siguiente bonito resultado: el número de clases de conjugación que se cierran por inversión es igual al número de caracteres irreducibles cuyos valores son todos reales (equivalentemente, el número de irreales autoduales). Como hay muchos grupos (incluso simples) cuyas tablas de caracteres tienen entradas complejas, hay muchos grupos con elementos no conjugados con sus inversos.
Esta es una forma de abordar la cuestión para grupos finitos sin automorfismos externos.
