¿Es correcta mi demostración de la primera Ley de Kepler?

Question

Hace poco aprendí a usar ecuaciones diferenciales en física (sólo lo básico), así que traté de probar la Primera Ley de Kepler como un desafío. Esta es mi prueba, me gustaría saber si es correcta:

Prueba

Lo primero que hice fue descomponer el problema en $x$ y $y$ . De la similidute de triángulos tenemos:

$$ a_x:x=a:\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow a_x=a\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} $$ $$ a_y:y=a:\sqrt{x^2+y^2}\Rightarrow a_y=a\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} $$

Desde $a_x=x''$ y $a_y=y''$ tenemos:

$$x''=a\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$y''=a\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Desde entonces:

$$a=\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{x^2+y^2}$$

Tendremos: $$x''=\frac{GM}{x^2+y^2}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}$$ $$y''=\frac{GM}{x^2+y^2}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}$$

Aquí me quedé perplejo durante algunos días. Entonces me di cuenta de que la multiplicación de ambos lados:

$$x''y''=\frac{G^2M^2xy}{(x^2+y^2)^3}$$

Sé que no es formal, pero pensé que lo difícil era el denominador. Así que hice esta sustitución: $$x=c_1 \cos(c_2 t+c_3) $$ $$y=c_1 \sin(c_2 t+c_3) $$ Esto hace desaparecer el denominador y tenemos:

$$k_1\cos(c_2 t+c_3)\sin(c_2 t+c_3)=k_2\cos(c_2 t+c_3)\sin(c_2 t+c_3)$$

Esto prueba que mi solución era correcta y que la solución es la ecuación paramétrica de una elipse(sin embargo esto no prueba que sea única, pero todavía no sé como resolver un sistema de ecuaciones diferenciales, así que tuve que usar la intuición y un poco de suerte).

Gracias por su tiempo

)

Answer 1

Para demostrar la primera ley de Kepler, tome la energía total en coordenadas polares $(r,\varphi)$ , $$E_\text{total}=\frac12m\dot r+\frac{|\vec L|^2}{2mr^2}-G\frac{mM}{r},$$ donde $L=|\vec L|$ es el momento angular y resuelve esto para $\dot r$ :

$$\dot r=\left(\frac2m\left(E_\text{total}-\frac{L^2}{2mr^2}+G\frac{mM}{r}\right)\right)^{1/2}$$ y utilizar $\dot\varphi=\frac{L}{mr^2}$ para obtener $$\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dr}=\frac{\mathrm d\varphi}{\mathrm dt}\frac{\mathrm dt}{\mathrm dr}=\frac{L}{mr^2}\left(\frac2m\left(E_\text{total}-\frac{L^2}{2mr^2}+G\frac{mM}{r}\right)\right)^{-1/2}.$$ Ahora integre esto para obtener $\varphi(r)$ y resolver esto para $r$ para obtener finalmente $$r(\varphi)=\frac{a(1-b^2)}{1+b\cos\varphi}\qquad\text{for}\qquad a=-G\frac{mM}{2E_\text{total}}\quad\text{and}\quad b=\left(1+\frac{2E_\text{total}L^2}{G^2m^3M^2}\right)^{1/2}.$$

Esta es la ecuación de la sección cónica en coordenadas polares. Para $E_\text{total}<0$ se convierte en la ecuación de una elipse.