Demostrar que $\frac{x+y}{1+xy}$ es un grupo abeliano

Question

Sea $I=\left]-1,\ 1\right[$ sea un intervalo, y $\left(I,\ \star\right)$ sea un magma tal que

$$\left(\forall\ \left(x,\ y \right) \in I^2\right)\ x \star y=\frac{x+y}{1+xy}$$

Necesito probar que $\left(I,\ \star\right)$ es un grupo abeliano.

Una forma sencilla de demostrarlo es comprobando que el magma $\left(I,\ \star\right)$ cumple los axiomas de grupo, incluida la conmutatividad.

Basándome en el siguiente enunciado me gustaría abordar ese problema:

Sea $f$ sea un homomorfismo de $\left(X,\ \perp \right)$ a $\left(I,\ \star\right)$ entonces la estructura algebraica de $\left(I,\ \star\right)$ es exactamente la estructura algebraica de $\left(X,\ \perp \right)$

Así que me gustaría encontrar un habitual Grupo abeliano - ex. $\left(\mathbb{R},\ +\right)$ - y un homomorfismo $f$ de ese grupo a $\left(I,\ \star\right)$ .

Supongamos que $f$ es un homomorfismo de $\left(X,\ \perp \right)$ a $\left(I,\ \star\right)$ entonces

$$\left(\forall\ \left(x,\ y \right) \in X^2\right)\ f\left(x \perp y \right)= f\left(x\right) \star f\left(y \right)$$

$$\Leftrightarrow f\left(x \perp y \right)= \frac{f\left(x\right) + f\left(y \right)}{1+f\left(x\right) \cdot f\left(y \right)}$$

Me quedé atascado en eso. Podría alguien apoyarme con algunas pistas de cómo conseguirlo.

Answer 1

Pista: $$\tanh (a+b)=\frac{\tanh a+\tanh b}{1+\tanh a\tanh b}.$$