Necesito ayuda para encontrar el límite de esta secuencia

Question

Necesito ayuda con el siguiente ejercicio que dice así

Calcular el límite de la secuencia definida por:

$$x_n=\frac{1}{n}(n+\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}+...+\frac{2}{n-1}+\frac{1}{n}-\log(n!))$$

La idea es encontrar este límite mediante equivalencias asintóticas, para ello considere lo siguiente

En $\log(n!)n\log(n)$ entonces $x_n \frac{1}{n}(n+\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}+...+\frac{2}{n-1}+\frac{1}{n}-n\log(n))$

He pensado en establecer esta equivalencia, pero no sé cómo llegar al valor del límite.

Gracias por su ayuda

Answer 1

Sugerencia. Tenga en cuenta que $$n+\frac{n-1}{2}+\frac{n-2}{3}+...+\frac{2}{n-1}+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n\frac{n+1-k}{k}=(n+1)H_n-n$$ donde $H_n=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}$ es el $n$ -th número armónico .

Recordemos que $H_n=\log(n)+\gamma +o(1)$ . Además, utilice Aproximación de Stirling para $n!$ .