Tenemos que $G-PBun(X)$ la categoría de haces principales topológicos para un grupo estructural $G$ es equivalente a $Top[X,BG]$ donde $BG$ es el espacio de clasificación de $G$ .
Esto casi parece un anexo, ¿se puede convertir en uno?
¿Quizá en un sentido de dimensión superior?
No hay adjunto izquierdo de $B$ que yo sepa, que parece lo que pides, pero de hecho hay un adjunto derecho. Sea $\Omega$ denotan el functor de espacio de bucles que envía un espacio $S$ al espacio de bucles basados en $S$ . Entonces $\Omega$ es un funtor a monoides topológicos donde los bucles basados se componen de la forma obvia y tenemos un isomorfismo natural
$$ \operatorname{Hom}(BG, X) \cong \operatorname{Hom}(G,\Omega X) $$
donde la izquierda $\operatorname{Hom}$ es como espacios topológicos puntiformes y el derecho $\operatorname{Hom}$ como monoides topológicos.
Esto ya no clasifica principal $G$ -bundles ya que estábamos mirando mapas de $BG$ sino que es una adjunción del $B$ functor.
Para una referencia, véase esta pregunta .
No se trata de una adjunción, sino de la afirmación de que el $2$ -que envía un espacio (bonito) $X$ a su groupoide de principales $G$ -fajos es representable a saber $BG$ . En realidad esta es la definición functorial de $BG$ .
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