En diferentes libros se pueden encontrar diferentes definiciones implícitas para un axioma cardinal grande.
Mi pregunta es: ¿cuál de estas definiciones es más popular o estándar entre los teóricos de los conjuntos?
Cualquier referencia para una definición explícita de un axioma cardinal grande será bienvenida.
Permítanme dar la definición de grandes cardenales dada por Woodin, mencionada por Everett.
Definición. $\exists x\phi(x)$ es un axioma cardinal grande, si $\phi(x)$ es un $\Sigma_2$ -y, como teorema de ZFC, si $\kappa$ es un cardinal tal que $V\models \phi(\kappa),$ entonces $\kappa$ es fuertemente inaccesible, y para todas las nociones de forzamiento $P$ de tamaño $<\kappa, V^P\models \phi(\kappa).$
Creo que una pregunta interesante es: ¿qué cardenales grandes conocidos no tienen un $\Sigma_2$ -¿Definición?
Aunque creo que estoy de acuerdo con Tim Chow y Joel Hamkins en algunos de sus comentarios anteriores sobre una única formal definición de lo que es ser un gran cardinal, quiero sugerir que un gran cardinal se considere tal si satisface la siguiente "definición" abierta y semiformal (que extraigo de la historia, no de ideas a priori sobre la grandeza o nociones relacionadas sobre el universo de conjuntos (sea lo que sea lo que eso pueda significar)). Es decir, un conjunto/una proposición es una noción cardinal grande si satisface una disyunción abierta que incluye entre sus disyuntos las tres categorías (no se trata de la noción lógica, sino simplemente del inglés) que menciono a continuación.
Históricamente, los grandes supuestos cardinales parecen pertenecer a una de varias categorías:
1) Inaccesibilidad "desde abajo" de algún tipo.
2) Como puntos críticos de incrustaciones elementales entre determinadas estructuras teóricas de conjuntos.
3) Proposiciones formalizables en, digamos, ZFC o algún fortalecimiento/alternativa de segundo orden, que impliquen lógicamente la existencia de otras grandes nociones cardinales.
Per 1: Este criterio obviamente capturará los cardinales grandes débil y fuertemente inaccesibles como puntos de cierre bajo las operaciones teóricas de conjuntos habituales. Supongo que esta noción informal también nos dará los cardinales de Mahlo. Yo incluiría en esta categoría a los cardinales indescriptibles de varios grados, y por tanto también a los cardinales débilmente compactos (aunque éstos entrarán también en las categorías 2 y 3).
Este requisito de inaccesibilidad también abarca consideraciones teórico-prácticas. Así, por ejemplo, las afirmaciones que implican la existencia de modelos de, digamos, ZFC, también entrarían en esta categoría. Esto incluiría la jerarquía de consistencia iterada, la existencia de un modelo transitivo (¿conjunto?) de ZFC, y los cardinales mundanos y sus generalizaciones.
Creo que esta categoría también podría incluir $V=L$ como un gran axioma cardinal, aunque existe cierto conflicto con las otras 2 categorías. Espero explicar esto proclamando que un axioma cardinal grande satisface al menos una de las tres categorías anteriores, mientras que al mismo tiempo no satisfacer una negación plausible de cualquiera de las tres categorías (o de cualquier otra, ya que la lista pretende ser abierta). No estoy seguro de que esto sea justo, ya que implícitamente estoy importando una restricción de coherencia, pero en este momento, creo que es al menos razonable.
per 2: Esta categoría en particular abarca, hasta donde yo sé, la mayoría de los axiomas cardinales grandes. Dado que esto es bastante estándar, entiendo que no hay objeciones a esta categoría como criterio para "gran cardinal". Pero, por favor, ponga cualquier objeción en la sección de comentarios.
por 3: Esta última categoría pretende abarcar supuestos relativos a la existencia de varios tipos de sharps, indiscernibles para varias estructuras set-teóricas, y axiomas como $AD^{L(\mathbb{R})}$ y generalizaciones de estas estructuras.
Creo que esta categoría también abarcará la existencia de ciertos tipos de grandes cardinales indestructibles, ya que se ha demostrado la existencia de muchos de estos cardinales asumiendo la existencia de un gran cardinal particular y proporcionando después una cierta construcción de forzamiento.
De nuevo, este criterio puede ser un poco injusto, ya que la proposición $0=1$ implica toda afirmación teórica de conjuntos, incluidos todos los llamados grandes cardinales. Así, pretendo exigir implícitamente una restricción de consistencia...
Algunas observaciones sobre la propuesta anterior:
1) En un mundo ideal, los cardinales grandes implicarían lógicamente alguna estructura regular/predecible en el universo inferior. En particular, creo que una característica especialmente deseable sería que el supuesto en cuestión impusiera un orden lineal en los cardinales grandes estrictamente menores. Desde un punto de vista estético, esto requeriría que el fenómeno de "crisis de identidad" observado en, digamos, cardinales fuertemente compactos, fuera erradicado por el supuesto en cuestión.
Para aclarar, yo no rechazaría, en este momento, un supuesto de gran cardenal específico que no "domesticara" a los grandes cardenales que tiene por debajo como gran cardenal. Más bien, estoy más inclinado a rechazar que una noción específica propuesta como una noción cardinal grande, ya no se considerará un gran cardinal en el contexto de la asunción de otro gran cardinal si la primera no está "domesticada" en el contexto de la segunda, pero prácticamente todo lo demás sí lo está. Es una idea vaga, lo sé. Simplemente estoy tratando de aislar qué características se convierten en invariantes de forzamiento bajo un supuesto específico de gran cardinal.
2) Algo contrario a la primera observación, me inclino a creer que la preservación bajo forzamientos pequeños (esto es Levy-Solovay) no es una característica necesariamente compartida por todos los supuestos cardinales grandes. Aunque este rasgo es un fenómeno empírico conocido para la mayoría de los grandes cardinales, todavía no estoy convencido de que sea un rasgo característico de los grandes supuestos cardinales. Si el consenso de la comunidad es que Levy-Solovay es de alguna manera un rasgo intrínseco o deseable que debe satisfacer un gran supuesto cardinal, que así sea. Pero creo que hay muchos ejemplos que demuestran que los grandes supuestos cardinales pueden, de hecho, ser susceptibles de nociones de forzamiento tanto grandes como pequeñas.
3) Pen Maddy tiene un conjunto muy completo de principios para proponer nuevos axiomas, expresados en dos artículos, que como mínimo merece la pena leer. Añadiré un enlace cuando lo encuentre. Conocí estos artículos hace mucho tiempo e incluso me parecieron convincentes desde cierto punto de vista. Sin embargo, no los consulté para esta respuesta y también creo que se han realizado investigaciones desde su publicación que socavan algunos (o quizá incluso la mayoría) de esos principios.
Invito a todas y cada una de las críticas (así como adiciones) a esta propuesta.
Un marco axiomático general para grandes axiomas cardinales ha sido intentado por Apter, Diprisco, Henle, Swicker en el documento " Espacios filtrantes: hacia una teoría unificada del gran cardinal y los axiomas de incrustación " (1989, MR0982997 ) y la continuación "Espacios filtrantes. II. Ultraproductos límite e incrustaciones iteradas" (1989, MR1071798 ).
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