Línea tangente a un polinomio

Question

Ayer estuve leyendo sobre la división larga de polinomios y una de sus aplicaciones era la capacidad de encontrar una recta tangente a un polinomio sin diferenciación.

Decía $ P(x)$ sea un polinomio, hallar la recta tangente a $P(x)$ en el punto $x=k$ dividir $P(x)$ por $(x-k)^2$ y el resto $R(x)$ será la ecuación de la recta tangente en el punto $ x = k$ .

¿Cómo es posible? Creía que la única forma de hallar la pendiente de una curva era mediante la diferenciación.

Answer 1

En matemáticas, es bastante raro y poco natural tener sólo una manera de hacer algo.

Realmente, ¿qué es un resto? Tenemos $P(x)=(x-k)^2Q(x)+R(x)$ donde $R(x)$ es una función lineal. Ahora, ¿cuál es la derivada de $P$ en $k$ ? ¿Puede encontrarlo? Mira: $P'(x)=2(x-k)Q(x)+(x-k)^2Q'(x)+R'(x)$ así que cuando enchufamos $x=k$ los dos primeros términos desaparecen y nos dejan con $R'(k)$ . También, obviamente, $P(k)=R(k)$ . Así que $R(x)$ es una función lineal que tiene el mismo valor y la misma pendiente que $P(x)$ en $x=k$ . Suena muy parecido a la definición de una línea tangente, ¿verdad?

Answer 2

Hay otra forma de ver esto. Dejemos que $I$ sea el ideal generado por $(x-k)^2$ . Este ideal consiste en todos los polinomios que tienen una raíz $k$ con multiplicidad $2$ otra forma de decir que son tangentes a la $x$ -eje en el punto $x = k$ Cualquier representante de un coset de $I$ tiene una recta tangente idéntica en el punto $x = k$ .

Answer 3

He aquí una respuesta intuitiva no basada en el cálculo.

• Primero después de la división tenemos $ f(x) = (x-k)^2Q(x) + R(x)$ donde R(x) es una ecuación lineal. Por tanto, en x = r, el término cociente se anula y f(k) = R(k). En otras palabras, hay una intersección entre la curva y la recta.
• Si la recta R(x) es tangente en esa intersección entonces f(x) - R(x) debe ser negativa o positiva para un delta pequeño alrededor de x y a ambos lados. Si es una intersección regular entonces la diferencia cambiará de signo a izquierda y derecha.
• Porque hemos elegido dividir por $ (x-k)^2$ después de ajustar por un pequeño delta $ (x - k \pm \Delta)^2 >= 0$ . Mientras k no sea una raíz de Q(x) sus ceros están lo suficientemente lejos de la delta que elegimos como para que la delta no los cruce y su signo tampoco pueda desplazarse. Así que se cumple la condición necesaria para la tangencia.

Nota: el procedimiento se rompe cuando Q(x) sí tiene raíces adicionales de k pero entonces R(x) = 0.