Si $X$ es un complejo CW y $f:X\rightarrow X$ un mapa celular. Entonces por qué induce un mapa de complejos de cadenas $f_*:C_*(X)\rightarrow C_*(X)$ . (¿Por qué conmuta con el diferencial?).
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user1097772
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Asumo que estás usando homología celular para los complejos CW $X$ y $Y$ . El problema que planteas aparece en múltiples textos de Topología Algebraica (es el problema 2.2.17 en el texto de Hatcher, por ejemplo).
Cuando utilizamos la homología celular el problema se reduce a la naturalidad de la secuencia exacta larga para la homología singular, ya que el mapa $d_n:H_n(X^n,X^{n-1}) \to H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})$ puede descomponerse en $j_{n-1} \circ \delta_n$ :
$H_n(X^n,X^{n-1}) \xrightarrow{\delta_n} H_{n-1}(X^{n-1}) \xrightarrow{j_{n-1}}H_{n-1}(X^{n-1},X^{n-2})$
El mapa de la izquierda procede de la secuencia exacta larga para $(X^n,X^{n-1})$ y el mapa de la derecha es de la secuencia exacta larga para $(X^{n-1},X^{n-2})$ . La naturalidad de ambas secuencias exactas largas completa la demostración. Para una prueba de la naturalidad de una secuencia exacta tan larga, puede consultar muchos textos de topología algebraica (por ejemplo, Hatcher, capítulo 2.1).
Espero que esto ayude.
Xetius
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Permítanme esbozar un argumento homológico.
Sea $X$ sea un complejo CW finito no vacío de dimensión $k$ y que $$\emptyset=X^{-1}\subsetneq X^0\subseteq X^1\subseteq\cdots\subseteq X^k=X$$ sea la secuencia creciente de esqueletos de $X$ . Para cada espacio $Y$ , dejemos que $\bar S_\bullet(Y)$ sea el complejo singular reducido de $Y$ . Para cada $p$ deje $$F^p\bar S_\bullet(X)=\bar S_\bullet(X^p).$$ Esto define una filtración creciente sobre el complejo $\bar S_\bullet(X)$ y podemos considerar la secuencia espectral correspondiente $E=E(X)$ . En $0$ ª página de $E$ tiene $$E^0_{p,q}=\frac{F^p\bar S_{p+q}(X)}{F^{p-1}\bar S_{p+q}(X)}=\frac{\bar S_{p+q}(X^p)}{\bar S_{p+q}(X^{p-1})},$$ y este es el grado $p+q$ parte del complejo relativo reducido $\bar S_{p+q}(X^p,X^{p-1})$ . El diferencial en $E^0$ es inducida por la de $\bar S_\bullet(X)$ . De ello se deduce inmediatamente que $E^1_{p,q}=\bar H_{p+q}(X^p,X^{p-1})$ .
Ahora bien, puesto que $X^p$ se obtiene uniendo $p$ -células a $X^{p-1}$ un cálculo estándar muestra que $E^1_{p,q}=0$ si $q\neq0$ . Esto implica que la secuencia espectral degenera en $E^2$ y -dado que converge-, que $\bar H_\bullet(X)$ es la homología del complejo $$\cdots \to \bar H_p(X^p,X^{p-1}) \xrightarrow{\quad d^1_{p,0}\quad } \bar H_{p-1}(X^{p-1},X^{p-2}) \to \cdots$$ En particular, se trata de un complejo . Ahora una pequeña consideración de diagramas conmutativos muestra que este mapa $d^1_{p,0}$ es el diferencial celular.
Ahora, supongamos que $f:X\to Y$ es un mapa de dos complejos CW como el anterior que mapea cada esqueleto al esqueleto correspondiente. Entonces el mapa inducido $f_\bullet:\bar S_\bullet(X)\to\bar S_\bullet(Y)$ respeta las filtraciones en $\bar S_\bullet(X)$ y en $\bar S_\bullet(Y)$ de hecho induce un morfismo $f_{\bullet,\bullet}:E(X)\to E(Y)$ entre las secuencias espectrales correspondientes. Esta afirmación incluye en particular el hecho de que $f_{\bullet,\bullet}$ conmuta con el diferencial celular.
