Formalización de sentencias en lógica de predicados monádica

Question

Se trata de una formalización bastante complicada porque la redacción es bastante oscura, pero espero que haya una respuesta correcta en alguna parte. Cualquier ayuda será muy apreciada; muchas gracias por adelantado.

Px: x es lógico; Qx: x es inteligente; Rx: x es lento

1. Si todos los lógicos son inteligentes, entonces ningún lógico es lento.
2. Algunos lógicos son lentos, pero no hay lógicos no inteligentes.

Sx: x es una canción de los Beatles; Tx: x es una canción cantada por Ringo; Ux: x es genial; a: El jardín del pulpo

3. Todas las canciones de los Beatles, excepto las cantadas por Ringo, son geniales.
4. Octopus's Garden es una canción de los Beatles y no es genial ni está cantada por Ringo.

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Mis ideas:

1. $\forall x (Px \rightarrow Qx) \rightarrow \forall x (Px \rightarrow \neg Rx)$
2. $\exists x(Px \land Rx) \land \forall x (\neg Px \rightarrow \neg Qx)$
3. $\forall x ((Sx \land \neg Tx) \rightarrow Ux)$
4. $Sa \land \neg Ua \land \neg Ta$

Answer 1

Has clavado $(1),(3), (4).$

La primera traducción coincide con mi trabajo inmediatamente inferior.

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$$\forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\rightarrow \lnot \exists x (P(x) \land R(x))\tag 1$$

$$\equiv \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\rightarrow \forall x\lnot(P(x) \land R(x))\tag 2$$

$$\equiv \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\rightarrow \forall x(\lnot P(x) \lor \lnot R(x))\tag{3) DeMorgan's on (2 }$$

$$\equiv \forall x (P(x) \rightarrow Q(x))\rightarrow \forall x( P(x) \rightarrow \lnot R(x))\tag 4$$

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Su segunda traducción no es del todo correcta. Considere el siguiente argumento: Tenemos

$$\exists x\Big((P(x)\land R(x)\Big) \land \lnot \exists x\Big((P(x) \land \lnot Q(x))\Big)\tag{1}$$

$$\equiv \exists x\Big((P(x)\land R(x))\Big) \land \forall x \lnot\Big(P(x)\land \lnot Q(x)\Big)\tag 2$$

$$\equiv \exists x\Big((P(x)\land R(x))\Big) \land \forall x \Big(\lnot P(x)\lor \lnot\lnot Q(x)\Big)\tag 3$$

$$\equiv \exists x\Big((P(x)\land R(x))\Big) \land \forall x \Big( P(x)\rightarrow Q(x)\Big)\tag 4 $$