Prueba de campo de extensión que contiene una raíz de polinomio irreducible

Question

Últimamente he estado leyendo a Dummit/Foote, y en el capítulo introductorio sobre la teoría de campos, aparece el siguiente teorema:

Teorema Sea F un campo y sea $p(x) \in F[x]$ ser irreducible. Entonces existe un campo $K$ que contiene una copia isomorfa de $F$ en el que $p(x)$ tiene una raíz.

En la demostración de este teorema, $K$ se define como $F[x]/ \langle p(x)\rangle$ de modo que los elementos de $K$ parecer $f(x) + \langle p(x) \rangle$ para algunos $f(x) \in F[x]$ . La alegación es que el elemento $x + \langle p(x) \rangle$ es una raíz de $p(x)$ . Mi pregunta es: Si $p(x)$ pertenece a $F[x]$ ¿por qué puedes siquiera "evaluar" $p(x)$ en el elemento $x + \langle p(x) \rangle$ . Si $p(x) = a_nx^n + \cdots + a_1x + a_0$ evaluando en $x + \langle p(x) \rangle$ parece algo así como \begin{equation*} a_n \big(x + \langle p(x) \rangle\big)^n + \cdots + a_1 \big(x + \langle p(x) \rangle\big) + a_0 \end{equation*} Pero, ¿qué $a_1 \big(x + \langle p(x) \rangle\big)$ ¿Incluso significar? Supongo que es probablemente igual a $a_1x + \langle p(x) \rangle$ . Pero hasta donde yo sé, no hay ninguna definición (en D/F) de lo que significa esta expresión o si siquiera tiene un significado.

Después de pensarlo un poco más, he llegado a la siguiente hipótesis. Tal vez el teorema que he enunciado anteriormente podría enunciarse de la siguiente manera:

Teorema (versión modificada) Sea $F$ sea un campo y $p(x) \in F[x]$ sea irreducible. Entonces existe un campo $K$ de forma que se cumplan las siguientes condiciones

1. Existe un isomorfismo $\phi: F \to \phi(F) \subset K$ .
2. El polinomio $\tilde{p}(x):= \phi(a_n) x^n + \cdots + \phi(a_1)x + \phi(a_0) \in K[x]$ contiene una raíz, es decir, existe $\alpha \in K$ con la propiedad de que $\tilde{p}(\alpha) = 0_K$ .

Me sentiría más cómodo utilizando este enfoque. Parece extraño (y para mí, incluso poco riguroso) evaluar $p(x) \in F[x]$ en un elemento $\alpha \in K$ cuando $K$ no es (formalmente hablando) un supercampo de $F$ . Utilizando la formulación anterior, no tenemos este problema. (Nota: Sé que algunos pueden objetar mi afirmación de que $K$ no es un supercampo de $F$ . Me doy cuenta de que $K$ contiene una copia isomorfa de $F$ pero si $F \subset K$ no se cumple en el sentido de la teoría de conjuntos, entonces parece que te encuentras con el problema de definir lo que $a_1 \alpha$ significa cuando $a_1 \in F$ y $\alpha \in K$ .)

Para resumir, supongo que he esbozado tres cuestiones generales (aunque agradecería comentarios sobre cualquier cosa de este post)

1. ¿Qué significa la expresión $a_1 \big(x + \langle p(x) \rangle \big)$ cuando $a_1 \in F$ ?
2. Si $f(x) \in F[x]$ ¿Qué puedo evaluar? $f$ ¿en? ¿Es necesario que este elemento pertenezca a $F$ ?
3. ¿Es correcta mi reformulación del teorema? Si ambas formulaciones son correctas, ¿cómo es de rigurosa la dada en D/F?

Answer 1

Tienes un mapa canónico $\pi \colon F \to F[x]\to F[x]/(p(x))=:K$ que es necesariamente inyectiva ya que $F$ es un campo, es decir, podemos considerar $F$ como subcampo de $K$ . Ahora la inclusión se extiende a $F[T] \to K[T]$ por un tiempo indeterminado $T$ . En particular, el polinomio $p(T)=\sum_i a_i T^{i}$ puede considerarse como un polinomio con coeficientes en $K$ . Para ser precisos, parece $\sum_i (a_i+(p(x)))T^{i}$ sur $K[T]$ . Ahora, si evalúas esto en $T=x+(p(x))$ entonces se ve que $$ \sum_i(a_i+(p(x)))(x+(p(x)))^{i}=\sum_i a_ix^{i} + (p(x))=p(x)+(p(x))=0. $$