Todas las circunferencias que tienen su centro en una línea fija y pasan por un punto fijo situado fuera de la línea fija; también pasan por otro punto fijo.

Question

Demostrar que todas las circunferencias con centro en una recta fija y que pasan por un punto fijo (no situado en la recta fija) pasan también por otro punto fijo.

Mi intento- Que la línea fija sea $y=mx+c$ sea el punto fijo $P:(h,k)$ . Ahora ecuación de cualquier circunferencia con centro en la recta $y=mx+c$ se verá como

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ con las condiciones $b=ma+c$ y $(h-a)^2+(k-b)^2=r^2$ estoy atrapado aquí.

Las soluciones geométricas son bienvenidas, pero busco una solución analítica.

Answer 1

Aunque $(R,h)$ son variables, diferencia de sus distancias al cuadrado $ (R^2-h^2)= $ debe ser constante $a^2$ como se muestra en la imagen siguiente.

Así pues, con cada punto fijo A1 existe un punto fijo A2 correspondiente reflejado alrededor de $x-$ eje.

$$ (x-h)^2+ y^2 = h^2 + a^2 \,or \quad x^2-2xh +y^2 = a^2 \tag1 $$

donde $h$ es el punto variable $B$ se mueve en el eje x y $a$ es constante. El círculo anterior con $B$ como centro se dibuja ahora en negro.

EDIT1:

Puntos $(A1,A2),(OA1=OA2=a)$ son puntos singulares, lo que significa que todas las circunferencias pasan por ellos. Se obtienen como soluciones singulares de DE derivadas por diferenciación parcial con respecto a

a $h$ y eliminándolo de 1)

$$ x^2-2 x\,h +y^2=a^2\, \rightarrow x =0 \rightarrow y= \pm a \tag2 $$

La distancia $OA$ de hecho sirve como uno entre dos bipolar $\sigma$ isosuperficie /coordenadas .

EDIT2

Tenga en cuenta que, si hubiera preguntado:

Demostrar que todas las circunferencias que tienen centro en una recta fija y cuyas tangentes pasan por un punto fijo , situado sobre dicha recta fija deben tener otra tangente que pase por dicho punto fijo,

entonces a la constante en este caso simplemente se le cambia el signo a $ (h^2-R^2)= a^2 $ cuando ahora pasamos a sus trayectorias ortogonales:

$\tau $ isosuperficie /coordenadas

que tienen longitudes constantes equi-tangentes $=a$ círculos de ecuación

$$ x^2+y^2-2 x h -R^2= a^2 \tag3 $$

Lo he incluido porque usted prefiere el enfoque analítico. Pero no pierda la conexión geométrica.

Answer 2

La línea dada $\ell$ es un eje de simetría para cada uno de estos círculos. Por lo tanto todas ellas pasarán por el punto $P'$ obtenido a partir de la reflexión $P$ sur $\ell$ .

Answer 3

Establece un sistema de coordenadas ortonormal de forma que la línea fija sea la $x$ -y el punto $P$ se encuentra en el $y$ -eje. Es decir, la ecuación de la recta es $y = 0$ y $P = (0,y_P).$

Siempre es posible hacerlo. Incluso si la línea y el punto ya se han dado en términos de algunas otras coordenadas, puede transformar las coordenadas a la forma deseada.

Ahora la ecuación del radio del círculo con centro $(0,x)$ es $r^2 = x^2 + y_P^2.$ Pero $x^2 + y_P^2 = x^2 + (-y_P)^2,$ es decir, si $(0,y_P)$ se encuentra en el círculo, entonces $(0,-y_P)$ . Pero se nos da que $(0,y_P)$ mentiras sobre cada círculo, y por lo tanto también $(0,-y_P)$ .