Supongamos que $F_0,F_1: X \rightarrow Y$ y $G_0,G_1: Y \rightarrow Z$ son mapas continuos. Supongamos que $F_0 \simeq F_1$ y $G_0 \simeq G_1$ demuestre entonces que $G_0 \circ F_0 \simeq G_1 \circ F_1$ .
En primer lugar, sé que existen mapas continuos
$$H_F: X \times [0,1] \rightarrow Y$$
definido mediante
$$H_F(x,0):=F_0(x), H_F(x,1):=F_1(x)$$
y un mapa continuo $H_G$
$$H_G: Y \times [0,1] \rightarrow Z$$
tal que
$$H_G(y,0):=G_0(y),H_G(y,1):=G_1(y)$$
Mi pregunta es si tomo la función a trozos definida como una nueva función $H$ como $H_F:=(s,2t)$ para $t \in [0,\frac{1}{2}]$ y definirlo como $H_G:=(s,2t-1)$ para $t \in (\frac{1}{2},1]$ Entonces $H$ se define en
$$H: X \times [0,1] \rightarrow Z$$
Y claramente la composición de funciones continuas es continua por tanto $G_0 \circ F_0$ , $G_1 \circ F_1$ qué mapa $X$ en $Z$ son ambas continuas.
Mi problema es que $H_G$ se define en $Y \times [0,1]$ . Así, mi $H$ No estoy seguro de que se defina en $X \times [0,1]$ . ¿Estoy loco o mi nueva homotopía sólo tiene que ir de $X \times [0,1]$ en $Z$ ? También, $H_F(s,t)$ tierras en $Y$ no $Z$ . ¿En qué me equivoco?
