Ecuación diferencial de Riccati $y'=x^2+y^2$

Question

$$y'=x^2+y^2$$ Sé, que esto es una especie de ecuación de Riccati, pero es posible resolver con simples métodos? Gracias

Answer 1

Puede ser resuelto (o, más bien, se transformó en una forma reconocible) el uso de métodos simples, pero el resultado sólo puede ser expresada en términos de funciones especiales.

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Es decir, vamos a escribir $\displaystyle y=-\frac{v'}{v}$,$\displaystyle y'=-\frac{v''}{v}+\frac{v'^2}{v^2}$, de modo que la ecuación se convierte en lineal: $$v''+x^2v=0.\tag{1}$$ Si queremos introducir $$v(x)=\sqrt{x}\cdot f\left(\text{$\frac{x^2}{2}$}\right),\tag{2}$$ entonces (1) se transforma en un caso particular de la ecuación de Bessel para $f(t)$: $$t^2f''+tf'+\left(t^2-\frac{1}{16}\right)f=0.$$ Tiene la solución general $$f(t)=C_1 J_{1/4}(t)+C_2J_{-1/4}(t).\tag{3}$$ Sustituyendo esto en (2), nos encontramos con $v(x)$, y, a continuación, $y(x)$ está dado por su logarítmicas derivadas. Claramente, $y(x)$ va a depender sólo de la relación de $C_1/C_2$ (en lugar de $C_1$, $C_2$ por separado). Esta relación juega el papel de la integración constante de la inicial de primer orden de la ecuación de $y'=x^2+y^2$.