Número de matrices posibles con las condiciones dadas

Question

Tengo una pregunta, que es la siguiente:

El número de todas las matrices $A=[a_{ij}], 1 \leq i,j \leq 4$ tal que $a_{ij}= \pm1 $ y $\sum_{i=1}^4a_{ij}= \sum_{j=1}^4a_{ij}=0$ ¿lo es?

Por lo tanto, creo que esta pregunta quiere decir que la suma de todos los elementos de una fila, y todos los elementos de una columna es cero, y el posible valor de los elementos siendo sólo $+1,-1$ . ¿Cómo se forman las combinaciones en este caso?

Intenté encontrar el número de soluciones de la ecuación $a_{11}+a_{12}+a_{13}+a_{14}=0$ y luego repitiendo el mismo proceso para cada fila y columna, pero eso no me llevó a ninguna parte. La respuesta dice 90 y parece que no puedo llegar allí. He visto otra pregunta preguntando lo mismo, pero la respuesta no es muy clara para mí, y que la pregunta de 4 años de edad, estoy publicando de nuevo.

Answer 1

El problema es el mismo que colocar dos $1$ s y dos $0$ s en cada fila y columna.

Pon dos $1$ s seguidos. $\binom{4}{2}$ formas. Elija una de las columnas en las que $1$ y colocar otro $1$ . $\binom{3}{1}$ maneras.

Hay un $2 \times 2$ submatriz en la que tres $1$ s se colocan ahora. Si la cuarta casilla también contiene un $1$ se determina la matriz completa. Así se obtiene una matriz.

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & \\ 1 & & (1,0)& \\ 0 & & & \end{bmatrix} $$

Si el cuarto cuadrado contiene un cero, hay dos formas de colocar un $1$ en esa fila concreta (que contiene el cero en lugar del cuarto $1$ ).

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & \\ 1 & 1& 0& 0\\ 0 & & & \end{bmatrix} $$

Ahora, en la columna sin tocar (la cuarta de arriba), sólo hay una forma de poner dos $1$ s. El resto $2\times2$ La submatriz puede rellenarse de dos maneras, eligiendo una posición para $1$ .

$$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & & & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0\\ 0 & & & 1 \end{bmatrix} $$

De ahí la respuesta final $$\binom{4}{2}\cdot\binom{3}{1}\cdot(1+2\cdot2)=90$$