¿Qué propiedades de los números nos permiten eliminar los paréntesis de las expresiones?

Question

Lo he visto afirmado en varios lugares (por ejemplo, Spivak's Cálculo p.3) que el hecho de que "los paréntesis puedan reordenarse libremente" en expresiones que sólo implican una adición ( $+$ ) se basa únicamente en (P1) la asociatividad de la adición, $$a+\left(b+c\right) =\left(a+b\right)+c,$$ y puedo ver que este es el caso en todos los ejemplos que he cansado. Sin embargo, también se afirma que se pueden eliminar por completo los paréntesis, de modo que, por ejemplo $$a+b+c$$ es idéntica a las expresiones anteriores.

No veo cómo demostrarlo usando sólo P1. La prueba parecería requerir (P2) identidad aditiva, $$a+0=a,$$ (P3) inversa aditiva, $$a+\left(-a\right)=0,$$ y (P4) conmutatividad, $$a+b=b+a.$$ Por ejemplo, la prueba $$\left(a+b\right)+c$$ $$=\left(a+b\right)+c+0$$ $$=0+\left(a+b\right)+c$$ $$=a+\left(-a\right)+\left(a+b\right)+c$$ $$=a+\left(\left(-a\right)+a\right)+b+c$$ $$=a+\left(a+\left(-a\right)\right)+b+c$$ $$=a+0+b+c$$ $$=a+b+c$$ requiere P2, P4, P3, P1, P4, P3 y P2.

¿Me estoy perdiendo algo que permita concluir que $$\left(a+b\right)+c=a+b+c$$ ¿basado únicamente en P1? Tal vez haya algo sutil sobre lo que representan los paréntesis que se me escapa.

Answer 1

$+$ se define inicialmente sólo como binario operación. Entonces podemos defina $a+b+c$ como $(a+b)+c$ o $a+(b+c)$ ; la asociatividad dice que no importa cuál usemos, ya que son iguales. Pero hasta que se haga esa definición, la expresión $a+b+c$ no tiene sentido.

Answer 2

Sugerencia $ $ Es fácil: sigue empujando ') hacia la derecha utilizando la regla de reescritura $\rm\ (x+y)+z\ \to\:\ x+(y+z).\,$ Una fácil inducción muestra que este proceso termina con la forma normal asociada a la derecha donde todos los ') están en el extremo derecho, por ejemplo. $\rm\ a+(b+(c+(d+\:\cdots\:))).\, $ Por asociatividad, la regla de reescritura preserva la igualdad, por lo que cada paréntesis posible de los sumandos es igual al paréntesis normalizado. Por tanto, podemos omitir los paréntesis y obtener a bien definido $\rm\:n$ operación de suma -aria $\rm\ a_1+ a_2+\: \cdots\:+a_n\:. $

Sin embargo, para las operaciones no asociativas, los diferentes paréntesis no tienen por qué producir valores iguales, por lo que los paréntesis son necesarios para especificar de forma única el valor deseado.

Puede ayudar a la intuición pensar en las expresiones presentadas como árboles (de análisis sintáctico), por ejemplo, a continuación.

Answer 3

La cuestión es que no importa cómo se ponga entre paréntesis $a+b+c$ el resultado es el mismo, por lo que la expresión sin paréntesis no es ambigua. Por lo tanto, no importa si se define $a+b+c$ ser $(a+b)+c$ o $a+(b+c)$ . (Obsérvese que, en última instancia, es necesaria alguna definición de este tipo, ya que $+$ se define originalmente sólo como una operación binaria).

Compárelo con $a-b-c$ en general $(a-b)-c\ne a-(b-c)$ por lo que la expresión $a-b-c$ es ininterpretable sin alguna convención, por ejemplo, trabajar de izquierda a derecha. Cuando la operación es asociativa, no se requiere tal convención.