Continuidad absoluta del núcleo

Question

Sea $(X,d)$ sea un espacio métrico y $K:X\times \mathcal B(X)\to[0,1]$ es un núcleo estocástico en $X$ . Llamamos a este núcleo continuo absoluto con respecto a una medida $\mu:\mathcal B(X)\to\mathbb R_{\geq0}$ si para cualquier $B\in\mathcal B(X)$ tal que $\mu(B) = 0$ tiene $K(x,B) = 0$ para todos $x\in X$ .

Qué condiciones necesarias y suficientes para tal medida $\mu$ exista dado un núcleo $K$ ?

Answer 1

Supongamos que $K(x,\cdot)$ es una medida para cada $x$ . Defina $$ \mu(B) = \sum_{x\in X}K(x,B). $$ Esta suma, posiblemente incontable, puede entenderse como la suma de todas las subsumas finitas, o como la integral con respecto a la medida de recuento sobre $X$ . Son definiciones equivalentes. Esta última es útil para poder aplicar herramientas de la teoría de la integración, como Fubini/Tonelli.

Para comprobar que $\mu$ es una medida, observe en primer lugar que $\mu(\emptyset)=0$ . Sea $\{B_n\}$ sean disjuntos. Entonces \begin{align*} \mu\bigg(\bigcup_{n=1}^\infty B_n\bigg) &= \sum_{x\in X}K\bigg(x,\bigcup_{n=1}^\infty B_n\bigg)\\ &= \sum_{x\in K}\sum_{n=1}^\infty K(x,B_n)\\ &= \sum_{n=1}^\infty\sum_{x\in X} K(x,B_n)\\ &= \sum_{n=1}^\infty\mu(B_n). \end{align*} La inversión del orden de la suma está justificada por el teorema de Tonelli.

Por último, si $\mu(B)=0$ entonces $K(x,B)=0$ para todos $x$ . Por lo tanto, $K$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$ .

Edita:

Para responder a los comentarios, supongamos que $x\mapsto K(x,U)$ es medible en Borel para cada abierto $U$ . Demostraremos que esto implica $x\mapsto K(x,B)$ es medible en Borel para cada $B\in\mathcal{B}(X)$ .

Sea $f_B(x)=K(x,B)$ . Sea $$ \mathcal{D} = \{B\in\mathcal{B}(X): f_B\text{ is Borel measurable}\}. $$ Desde $X$ es abierto, tenemos $X\in\mathcal{D}$ . Si $A,B\in\mathcal{D}$ y $B\subset A$ entonces $f_{A\setminus B}=f_A-f_B$ es medible, lo que implica $A\setminus B\in\mathcal{D}$ . Y si $\{A_n\}_{n=1}^\infty$ es una secuencia creciente en $\mathcal{D}$ con $A=\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ entonces $f_A=\sup_n f_{A_n}$ es medible, lo que demuestra que $A\in\mathcal{D}$ . En total, hemos demostrado que $\mathcal{D}$ es un sistema de Dynkin que contiene los conjuntos abiertos. Así que por la $\pi$ - $\lambda$ teorema, $\mathcal{D}=\mathcal{B}(X)$ .

Si $\nu$ es una medida sobre $(X,\mathcal{B}(X))$ podemos definir $$ \mu(B) = \int_X K(x,B)\nu(dx). $$ La prueba de que $\mu$ es una medida es lo mismo que se hizo anteriormente para contar medida. Sin embargo, ahora si $\mu(B)=0$ sólo podemos concluir que $K(x,B)=0$ para $\nu$ -a.e. $x$ . Una advertencia: el conjunto nulo excepcional puede depender de $B$ . Más concretamente, podemos decir que $$ \forall B,\;\mu(B)=0 \quad\Rightarrow\quad(K(x,B)=0\text{ for $ \nu $-a.e. $ x $}). $$ Pero no podemos decir que $$ (\forall B,\;\mu(B)=0 \quad\Rightarrow\quad K(x,B)=0)\text{ for $ \nu $-a.e. $ x $}. $$ De hecho, puede que no haya un solo $x\in X$ tal que $K(x,\cdot)$ es absolutamente continua con respecto a $\mu$ .

Por ejemplo $X=\mathbb{R}$ y $K(x,B)=1_B(x)$ . En otras palabras, $K(x,\cdot)=\delta_x$ la masa puntual centrada en $x$ . Sea $\nu=m$ donde $m$ es la medida de Lebesgue. Entonces $$ \mu(B) = \int_{\mathbb{R}}1_B(x)m(dx) = m(B). $$ Eso es, $\mu=m$ . Es cierto que para cada $B$ con medida de Lebesgue cero, $\delta_x(B)=0$ para Lebesgue a.e. $x$ . Sin embargo, no existe $x\in\mathbb{R}$ tal que $\delta_x(B)=0$ para todo Lebesgue nulo $B$ .