geodésicas en una superficie de Liouville

Question

Una superficie $S$ es una superficie de Liouville si sus coeficientes de la primera forma fundamental satisfacen $E=G=U+V$ y $F=0,$ donde $U=U(u)$ y $V=V(v).$

Necesito demostrar que las geodésicas en una superficie de Liouville pueden obtenerse por primitivación de la forma $$\int \frac{\textrm{d}u}{\sqrt{U(u)-c}}=\pm\int\frac{\textrm{d}v}{\sqrt{V(v)+c}}. $$

Mi primer intento es utilizar las ecuaciones de paralelismo para una curva geodésica. Si $\gamma$ es una geodésica, $\gamma(t)=\mathbb{x}(u(t),v(t)),$ donde $\mathbb{x}$ es una parametrización local de $S,$ así que

$$ \begin{cases} \displaystyle u''+\Gamma_{11}^{1}(u')^{2}+2\Gamma_{12}^{1}u'v'+\Gamma_{22}^{1}(v')^{2}=0, \\ \displaystyle v''+\Gamma_{11}^{2}(u')^{2}+2\Gamma_{12}^{2}u'v'+\Gamma_{22}^{2}(v')^{2}=0. \end{cases} $$

Calculando los símbolos de Christofell, encuentro

$$\Gamma_{11}^{1}=\frac{U_{u}}{2(U+V)},\;\Gamma_{11}^{2}=-\frac{V_{v}}{2(U+V)},\; \Gamma_{12}^{1}=\frac{V_v}{2(U+V)\;}, \\ \Gamma_{12}^{2}=-\frac{U_{u}}{2(U+V)},\;\Gamma_{22}^{1}=-\frac{U_{u}}{2(U+V)},\;\Gamma_{22}^{2}=\frac{V_v}{2(U+V)}. $$

Entonces, aplicando esto a la ODE $$ \begin{cases} \displaystyle u''+\frac{U_{u}(u)}{2(U(u)+V(v))}(u')^{2}+\frac{V_{v}(v)}{U(u)+V(v)}u'v'-\frac{U_{u}(u)}{2(U(u)+V(v))}(v')^{2}=0, \\ \displaystyle v''-\frac{V_{v}(v)}{2(U(u)+V(v))}(u')^{2}+\frac{U_{u}(u)}{U(u)+V(v)}u'v'+\frac{V_{v}(v)}{2(U(u)+V(v))}(v')^{2}=0. \end{cases} $$ Pero... bueno, no sé si puedo hacer algo desde aquí.

Intenté manipular las ecuaciones y obtuve

$$ \begin{cases} 2\left[u'\left(U(u)+V(v)\right)\right]'-\left((u')^{2}+(v')^{2}\right)U_{u}(u)=0 \\ 2\left[v'\left(U(u)+V(v)\right)\right]'-\left((u')^{2}+(v')^{2}\right)V_{v}(v)=0 \end{cases} $$

Ya que, ambas ecuaciones son iguales a cero, una es igual a la otra, entonces, manipulando,

$$2\left[\left(U(u)+V(v)\right)\left(u'-v'\right)\right]'+\left((u')^{2}+(v')^{2}\right)\left(V_{v}(v)-U_{u}(u)\right)=0, $$

y ahora no sé qué hacer.

Answer 1

Empezando por la ecuación que te dijo Ted Shifrin, $$ \frac{d}{dt}\left[ (U+ V) \dot{u} \right] = \frac{1}{2(U + V)} \frac{dU}{du}. $$

Por lo tanto, $$ \frac{dU}{du} = 2(U + V) \frac{d}{dt} \left[ (U +V) \dot{u} \right] $$

$$ \therefore \frac{dU}{du} = 2 (U + V) \left[ \frac{d(U + V)}{dt} \dot{u} + (U + V) \ddot{u} \right] $$

$$ = 2 (U + V) \frac{d(U + V)}{dt} \dot{u} + 2 (U + V)^2 \ddot{u}$$

$$ =\frac{d (U + V)^2}{dt} \dot{u} + 2 (U + V)^2 \frac{d \dot{u}}{dt}. $$

Sin embargo, observe que

$$ \frac{d}{dt} \left[ (U + V)^2 \dot{u}^2 \right] = 2 (U + V) \frac{d(U+V)}{dt} \dot{u}^2 + (U + V)^2 2 \dot{u} \ddot{u}$$

$$ = \dot{u} \left[ \frac{d(U + V)^2}{dt}\dot{u} + (U + V)^2 2 \ddot{u} \right] = \dot{u} \frac{dU}{du}. $$

Desde $\frac{dU}{du} \frac{du}{dt} = \frac{dU}{dt} $ , integrando se obtiene para alguna constante A

$$ (U + V)^2 \dot{u}^2 = U - A. $$

La geodésica está parametrizada por la arclitud, lo que implica

$$ (U + V)(\dot{u}^2 + \dot{v}^2) = 1 \implies $$ $$ (U + V)^2(\dot{u}^2 + \dot{v}^2) = U + V. $$

Sustituya lo que ha encontrado por $(U + V)^2 \dot{u}^2$ llegando a que $ (U + V)^2 \dot{v}^2 = V + A $ .

Por último, tomar raíces cuadradas (aquí aparecen las posibilidades de signo) e "igualar la $ dt $ s":

$$ \frac{(U + V)}{\sqrt{U - A}} du = \pm \frac{(U + V)}{\sqrt{V + A}} dv $$

Cancelación $ U + V $ e integrando, alcanzas, por alguna constante $ B $ :

$$ \int \frac{du}{\sqrt{U - A}} = \pm \int \frac{dv}{\sqrt{V + A}} + B .$$