¿Existe una gavilla ideal $\mathcal F$ en algún esquema afín $X$ tal que $\mathcal F$ no es cuasi-coherente?

Question

Por favor, dé un ejemplo tal que $X$ es un esquema afín, y existe una gavilla ideal $\mathcal F$ en $X$ tal que $\mathcal F$ no es cuasi coherente.

Answer 1

A menudo ayuda traducir el problema al álgebra conmutativa. Definiré tramas ideales en un esquema $X$ ser un $\mathcal{O}_X$ módulo $\mathcal{I}$ tal que para todos los conjuntos abiertos $U\subset X$ , $\mathcal{I}(U)$ es un ideal de $\mathcal{O}_X(U)$ . Así que $\mathcal{I}$ sea una gavilla ideal en $X=\operatorname{Spec}A$ . Recordemos que la cuasicoherencia puede comprobarse mostrando que el mapa natural $\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{I})_f\rightarrow \Gamma(\operatorname{Spec}A_f,\mathcal{I})$ es un isomorfismo para todo $f$ . Tenemos claramente $\Gamma(\operatorname{Spec}A,\mathcal{I})_f=I_f$ donde $I$ es un ideal de $A$ . También $\Gamma(\operatorname{Spec}A_f,\mathcal{I})=J$ donde $J$ es un ideal de $A_f$ . ¿Puede encontrar un $J$ de $A_f$ que no proviene de la localización de un ideal $I$ de $A$ ?

Answer 2

Ahora que entendí el problema con mi respuesta (borrado), trato de escribir un ejemplo fácil de una gavilla ideal que no es cuasicoherente:

Sea $R$ sea un anillo de valoración discreto, con campo de fracciones $K$ y que $X=\operatorname {Spec}(R)=\{x,\eta\}$ sea el esquema afín asociado con el punto genérico $\eta$ y punto cerrado $x$ . Consideremos ahora la gavilla ideal $\mathcal I\subset \mathcal O_X$ definido por $\mathcal I(X)=0$ y $\mathcal I(\{\eta\})=K$ .

Esta gavilla ideal no es cuasicoherente.

Por ejemplo, se puede ver que el "subesquema cerrado asociado", en caso de que fuera cuasicoherente, correspondería al conjunto $\{\eta\}$ que no está cerrado.

O puede seguir la sugerencia de Samir Canning y localizar en el uniformizador $\pi$ de $R$ . Entonces $R_{\pi}=K$ , $\Gamma(\operatorname{Spec}(R_{\pi}),\mathcal I)=K$ mientras que $\Gamma(\operatorname{Spec}(R),\mathcal I)_{\pi}=0$ .