Preguntas sobre $\mathrm{Aut}(\mathbb{Q} (\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q})$

Question

Considere la ampliación $\mathbb{Q} \subset\mathbb{Q} (\sqrt{2}, \sqrt{3})$ . ¿Cuántos elementos hay en $\text{Aut}(\mathbb{Q} (\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q})?$ Describa todos los elementos en $\text{Aut}(\mathbb{Q} (\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q})$ . Encontrar todos los subgrupos de $\text{Aut}(\mathbb{Q} (\sqrt{2}, \sqrt{3})/\mathbb{Q})$ y sus campos fijos.

Estoy usando el capítulo 14 de Dummit & Foote (Teoría de Galois) por si hace falta referenciarlo. El capítulo 13 fue pan comido para mí, así que creo que necesito que alguien me explique lo fácil que es la conexión y ya lo entenderé (o quizá no y también necesito que me lo digan). Realmente sólo necesito orientación.

Answer 1

Pista: Un automorfismo fija los enteros, de hecho los racionales. Así que tiene que llevar $\sqrt{2}$ a $\pm\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ a $\pm\sqrt{3}$ . No hay muchos candidatos.

Answer 2

Sabes que cualquier automorfismo de $\Bbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ fijación de $\Bbb{Q}$ tiene que enviar $\sqrt{2}$ y $\sqrt{3}$ a otra raíz de sus respectivos polinomios mínimos, de modo que tal vez quieras mirar esos polinomios/raíces y ver/contar las distintas formas (coherentes) en que puedes permutar las raíces. Una vez hecho esto, deberías ser capaz de determinar lo que hace un elemento arbitrario viendo lo que hace a los elementos de una base de $\Bbb{Q}\left(\sqrt{2},\sqrt{3}\right)$ (visto como un $\Bbb Q$ espacio vectorial).

Answer 3

Pista:

$\text{Aut}(\mathbb{Q} (\sqrt{2}, \sqrt{3}):\mathbb{Q})$ $\cong$ $\mathbb{Z_2} \times\mathbb{Z_2}$

Esto, junto con las demás pistas, debería darte la respuesta. Aún tendrás que encontrar los subgrupos y sus correspondientes campos fijos, lo cual no es demasiado difícil.