Supongamos que observo una muestra aleatoria $X_1, ..., X_n$ a partir de una distribución continua $F$ y quiero estimar el parámetro $\eta_q \equiv \mathbb{E}[g(q, X_i)]$ donde $q$ es algún cuantil especificado, por ejemplo la mediana, de la distribución de $X_i$ y $g(q, X_i) = \mathbb{1}(X_i > q) X_i$ . Si $q$ fuera conocida, entonces podría apelar al teorema del límite central para argumentar que $\sqrt{n}(\widehat{\eta}_q - \eta_q) \rightarrow_d N(0, \sigma^2_q)$ donde $\widehat{\eta}_q = n^{-1}\sum_{i=1}^n g(q,X_i)$ y $\sigma^2_q = Var[g(q,X_i)]$ .
Pero supongamos que $q$ no se conoce y debe estimarse mediante un cuantil muestral correspondiente $\widehat{q}$ . Mi pregunta es cómo contabilizar la estimación preliminar de $q$ en la varianza asintótica de $\widehat{\eta}_{\widehat{q}}$ . Mi confusión viene de la falta de suavidad de $g$ en función de $q$ . Entiendo cómo manejar el caso más estándar en el que una función de momento depende suavemente de un estimador preliminar para algún parámetro $\theta$ .
Actualización: Parece que este ejemplo debería estar cubierto por el enfoque descrito en la Sección 3.2 del Capítulo 37 del Handbook of Econometrics: "Empirical Process Methods in Econometrics", de Andrews (1994). Suponiendo que esto sea correcto, añadiré más detalles a continuación.
