¿Podemos interpretar la aritmética en la teoría de conjuntos, con exactamente PA como las consecuencias demostrables ZFC?

Question

Hay muchas interpretaciones de la aritmética en la teoría de conjuntos. La interpretación de interpretación de Zermelo, por ejemplo, comienza con el conjunto vacío y aplica el operador singleton como sucesor: $$0=\{\ \}$$ $$1=\{0\}$$ $$2=\{1\}$$ $$3=\{2\}$$ y así sucesivamente... La interpretación de von Neumann, por el contrario, se guía por la idea de que todo número es igual al conjunto de números menores. $$0=\{\ \}$$ $$1=\{0\}$$ $$2=\{0,1\}$$ $$3=\{0,1,2\}$$ En cada caso, se dota a los números de su estructura aritmética, suma y multiplicación, y de este modo se llega al modelo estándar de la aritmética $$\langle\mathbb{N},+,\cdot,0,1,<\rangle$$ En esos dos casos, no hay mucho en juego porque ZFC demuestra que son isomorfas y, por tanto, satisfacen exactamente las mismas afirmaciones aritméticas. En cada caso, las interpretaciones satisfacen de forma demostrable los axiomas PA de la aritmética de Peano.

Pero además, cada una de estas interpretaciones satisface muchas propiedades aritméticas adicionales que exceden estrictamente a PA, como Con(PA) y Con(PA+Con(PA)), que son todos teoremas ZFC.

Mi punto principal, sin embargo, es que estas propiedades adicionales no son demostrables en la propia PA, si son consistentes, y por lo tanto mi pregunta es si hay una interpretación de la aritmética en la teoría de conjuntos que realice exactamente PA.

Pregunta. ¿Existe una interpretación de la aritmética en la teoría de conjuntos tal que las consecuencias demostrables ZFC de la interpretación sean exactamente los teoremas PA?

Lo que quiero saber es si podemos interpretar la aritmética en ZFC de tal manera que no conlleve consecuencias aritméticas adicionales de ZFC.

Answer 1

La terminología estándar es que una interpretación $I$ de una teoría $U$ en una teoría $T$ es fiel si para todas las sentencias $\phi$ en el idioma de $U$ , $$T\vdash\phi^I\iff U\vdash\phi.$$ (Aquí y más adelante, supondré que todas las teorías están axiomatizadas recursivamente.) Un resultado clásico de Feferman, Kreisel y Orey [1] afirma:

Teorema 1 (Feferman, Kreisel, Orey). Sea $T$ sea una teoría reflexiva que incluya un mínimo de aritmética y que sea $\Sigma_1$ -sonido. Entonces todas las teorías interpretables en $T$ son fielmente interpretables en $T$ .

También demuestran que, a la inversa, si un $\Sigma_1$ -teoría del sonido $U$ es fielmente interpretable en una teoría esencialmente reflexiva $T$ entonces $T$ es ella misma $\Sigma_1$ -sonido.

Corolario: PA es fielmente interpretable en ZFC si y sólo si ZFC es $\Sigma_1$ -sonido.

Otros resultados sobre interpretabilidad fiel en teorías reflexivas fueron obtenidos por Lindström [2]; por ejemplo, demostró la siguiente caracterización:

Teorema 2 (Lindström). Sea $T$ y $U$ ser teorías esencialmente reflexivas. Entonces $U$ es fielmente interpretable en $T$ sólo si $U$ es $\Pi_1$ -conservador over $T$ (lo que equivale, por sí mismo, a la interpretabilidad de $U$ en $T$ ), y $T$ es $\Sigma_1$ -conservador over $U$ .

Generalizando el Teorema 1 en una dirección diferente, una teoría $T$ se llama de confianza si todas las teorías interpretables en $T$ son fielmente interpretables en $T$ . Así pues, el teorema 1 establece que $\Sigma_1$ -las teorías reflexivas sólidas son dignas de confianza.

Una caracterización completa de la fiabilidad fue dada por Visser [3], quien en particular demuestra que la suposición de reflexividad es innecesaria. (Obsérvese que el criterio que se expone a continuación no se basa en una interpretación fija de la aritmética, a diferencia de nociones como $\Sigma_1$ -sonoridad o reflexividad).

Teorema 3 (Visser). Una teoría $T$ es fiable si y sólo si tiene una extensión $T'$ (en el mismo lenguaje) tal que la aritmética de Robinson $Q$ tiene un $\Sigma_1$ -interpretación sonora en $T'$ .

También deduce de ello un resultado anterior atribuido a H. Friedman (pero al parecer no publicado por él):

Corolario. Una teoría secuencial finitamente axiomatizada consistente es digna de confianza.

Referencias

[1] Solomon Feferman, Georg Kreisel y Steven Orey: 1-Consistencia e interpretaciones fieles Archives of Mathematical Logic and Basic Research 6 (1962), pp. 52-63, doi 10.1007/BF02025806 .

[2] Per Lindström: Sobre la interpretabilidad fiel , en: Computation and Proof Theory (Börger, Oberschelp, Richter, Schinzel, Thomas, eds.), Lecture Notes in Mathematics vol. 1104, Springer, 1984, doi 10.1007/BFb0099490 .

[3] Albert Visser: Fe y falsedad Anales de Lógica Pura y Aplicada 131 (2005), pp. 103-131, doi 10.1016/j.apal.2004.04.008 .

Answer 2

Esto equivale al $\Sigma_1$ -sonoridad de $\mathsf{ZFC}$ (y esta equivalencia es muy robusta al sustituir $\mathsf{PA}$ con alguna otra teoría):

Si $\mathsf{ZFC}$ es $\Sigma_1$ -sonido entonces la respuesta es sí como sigue: considere "la $\alpha$ th (en el sentido de $<_L$ ) modelo construible de $\mathsf{PA}$ donde $2^{\aleph_0}$ es el $\alpha$ cardinal de cofinalidad incontable". Esta definición corresponde a una interpretación $\Phi$ de $\mathsf{PA}$ en $\mathsf{ZFC}$ que es extremadamente "indecisa": para cualquier (contable) $\mathcal{M}\models\mathsf{ZFC}$ y cualquier frase $\theta$ tal que $\mathcal{M}\models\mathsf{Con}(\mathsf{PA}+\theta)$ existe una extensión forzosa $\mathcal{M}[G]$ de $\mathcal{M}$ tal que $\Phi^{\mathcal{M}[G]}\models\mathsf{PA}+\theta$ . (Sólo tienes que mover $2^{\aleph_0}$ lo suficientemente arriba como para "agarrar" un modelo construible de $\mathsf{PA}+\theta$ en el sentido de $\mathcal{M}$ .) Desde $\mathsf{ZFC}$ es $\Sigma_1$ -sonido, siempre y cuando $\mathsf{PA}\not\vdash\theta$ hay algún contable $\mathcal{M}\models\mathsf{ZFC}$ con (algo $\mathcal{M}$ piensa es) un modelo construible de $\mathsf{PA}+\neg\theta$ .

Por otra parte, supongamos $\mathsf{ZFC}$ es $\Sigma_1$ -sin sonido. Entonces hay alguna ecuación Diofantina $E$ tal que $\mathsf{ZFC}$ piensa $E$ tiene solución pero $E$ no tiene solución. Supongamos $\Phi$ eran una interpretación de $\mathsf{PA}$ en $\mathsf{ZFC}$ . $\mathsf{ZFC}$ puede no darse cuenta de que $\Phi$ es, de hecho, una interpretación del pleno $\mathsf{PA}$ pero $\mathsf{ZFC}$ verá que $\Phi$ es una interpretación de al menos $\mathsf{I\Sigma_1}$ (puesto que esa teoría está finitamente axiomatizada), y puesto que $\mathsf{I\Sigma_1}$ es ( $\mathsf{ZFC}$ -probablemente) $\Sigma_1$ -completo tendremos que $\mathsf{ZFC}$ piensa que $\Phi$ piensa que $E$ tiene solución. Así que " $E$ tiene solución" es un no-teorema de $\mathsf{PA}$ (suponiendo $\mathsf{PA}$ es $\Sigma_1$ -por supuesto, pero creo que es justo), que es demostrable en cada interpretación de $\mathsf{PA}$ en $\mathsf{ZFC}$ .