para evaluar utilizando la regla de L'hopital

Question

¿Puede alguien guiarme sobre cómo utilizar la regla de L'Hop para evaluar esto?

$$ f(x)=\lim_{t\to 0} \frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t} s f'(s) ds $$

Answer 1

Piensa en la integral $$\int_{x-t}^{x+t}sf'(s)ds = \int_{x-t}^x sf'(s)ds + \int_x^{x+t} sf'(s)ds$$ y ahora usamos el Teorema Fundamental del Cálculo para diferenciar cada una de ellas con respecto a $t$ .

Si no está seguro de cómo hacer lo primero, recuerde que $\displaystyle\int_{x-t}^x sf'(s)ds=-\displaystyle\int_x^{x-t} sf'(s)ds$ .

Answer 2

$$f(x)=\lim_{t\to 0} \frac{1}{2t} \int_{x-t}^{x+t} s f'(s) ds$$ Usando la regla de L'Hospital: $$ =\lim_{t\to 0}\frac{\frac{d}{dt}\left(\int_{x-t}^{x+t} s f'(s) ds\right)}{\frac{d}{dt}(2t)}$$ Uso de la regla de Leibniz ampliada: $$ f(x)=\lim_{t\to 0}\frac{\int_{x-t}^{x+t}\frac{\partial( s f'(s))}{\partial t} ds+(x+t)f'(x+t)\frac{\partial(x+t)}{\partial t}-(x-t)f'(x-t)\frac{\partial(x-t)}{\partial t}}{2}\\f(x)=\lim_{t\to0}\frac{(x+t)f'(x+t)+(x-t)f'(x-t)}{2}\\f(x)=2f'(x)$$ O: $$\frac{f'(x)}{f(x)}=\frac12\implies \ln f(x)=\frac{x}2+c\implies f(x)=ke^{x/2}$$

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Para la regla de Leibniz ampliada: $$\frac{d}{d\theta}\left(\int_{a(\theta)}^{b(\theta)}f(x,\theta)dx\right)=\int_{a(\theta)}^{b(\theta)}\frac{\partial f(x,\theta)}{\partial\theta}dx+f(b(\theta),\theta).\frac{\partial b(\theta)}{\partial\theta}-f(a(\theta),\theta).\frac{\partial a(\theta)}{\partial\theta}$$