Elevaciones invariantes de una curva cerrada sobre una superficie de género > 1.

Question

Estoy aprendiendo algunas cosas sobre superficies de género mayor que $1$ y estoy tratando de responder a esta pregunta:

Sea $S$ sea una superficie compacta y orientable de género $g \geq 2$ y $c$ una curva cerrada en $S$ . Sea $\widehat{S}$ denotan el espacio de cobertura universal de $S$ . Dada una transformación de cubierta $\widehat{f}: \widehat{S} \rightarrow \widehat{S}$ ¿es cierto que sólo existe un número finito de ascensores $\widehat{c}$ de $c$ a $\widehat{S}$ que son $\widehat{f}-$ ¿invariante?

(con "levantar" me refiero a la imagen de un mapa $\widehat{c} : \mathbb{R} \rightarrow \widehat{S}$ que levanta la aplicación $c : \mathbb{R}/\mathbb{Z} \rightarrow S$ que define la curva cerrada $c$ ).

Espero que quede claro. Gracias por cualquier ayuda :)

EDITAR :

Mis intentos de responder a esa pregunta: supongamos que existe un ascensor $\widehat{c}$ de $c$ que es $\widehat{f}-$ invariante. Dada otra transformación de cubierta $\widehat{g} : \widehat{S} \rightarrow \widehat{S}$ Me gustaría demostrar que el ascensor $\widehat{g}(\widehat{c})$ de $c$ es $\widehat{f}-$ invariante si y sólo si $\widehat{g}$ y $\widehat{f}$ conmutar. Parece natural, pero no sé cómo demostrarlo adecuadamente...

¿Alguna idea?

Answer 1

En primer lugar, debe saber que su superficie $S$ admite una estructura hiperbólica, es decir, es homeomorfo al cociente $H^2/\Gamma$ del plano hiperbólico $H^2$ por un grupo de isometrías $\Gamma$ actuando correctamente de forma discontinua y libre en $H^2$ . Véase, por ejemplo, mi respuesta aquí , aunque si no se fija una estructura conforme de antemano, construir una estructura hiperbólica es más fácil, véase por ejemplo, aquí . En las mismas conferencias de Aramayona encontrará todo el material de base necesario para lo que se escribe a continuación.

Todo bucle orientado homotópicamente no trivial $\alpha$ en $S$ representa un elemento (único hasta la conjugación) $\gamma\in\Gamma$ . Este último actúa sobre $H^2$ como isometría hiperbólica : Tiene exactamente dos puntos fijos en el círculo límite $S^1$ de $H^2$ . El bucle $\alpha$ admite un ascensor $\tilde{\alpha}$ que es invariante bajo $\gamma$ . El ascensor $\tilde{\alpha}$ tiene exactamente dos puntos límite en el círculo límite $S^1$ : Son los puntos fijos de $\gamma$ . Utilizaré la notación $Fix(\gamma)$ para el conjunto de punto fijo de $\gamma$ en $S^1$ .

Por el contrario, si $\gamma$ preserva un arco parametrizado (no necesariamente simple) $\tilde\beta\subset H^2$ entonces los puntos límite (de acumulación) de $\tilde\beta$ en $S^1$ son exactamente los dos puntos fijos de $\gamma$ . Por lo tanto, para cada $\gamma'\in \Gamma$ si $\gamma'(\tilde\alpha)$ es $\gamma$ -invariante, entonces $\gamma'$ preserva el conjunto de punto fijo $Fix(\gamma)\subset S^1$ : O arregla $Fix(\gamma)$ o intercambia los dos puntos fijos. Esto último no puede ocurrir ya que $\Gamma$ no tiene torsión.

Lema. El estabilizador $\Delta$ de $Fix(\gamma)=\{x_1, x_2\}$ en $\Gamma$ es un grupo cíclico infinito.

Prueba. Sea $L\subset H^2$ sea la geodésica hiperbólica con los puntos límite $x_1, x_2$ . Dado que existe una única geodésica de este tipo, la línea $L$ tiene que ser invariante en $\Delta$ . Por lo tanto, $\Delta$ actúa libremente como un grupo propiamente discontinuo de isometrías de $L\cong {\mathbb R}$ . El grupo de isometría de ${\mathbb R}$ es el producto semidirecto de ${\mathbb R}$ (que actúa mediante traducciones) y ${\mathbb Z}_2$ (cuyo generador es la reflexión $t\mapsto -t$ ). Dejaré como ejercicio demostrar que todo subgrupo infinito discreto de ${\mathbb R}$ es isomorfo a ${\mathbb Z}$ . Por lo tanto, $\Delta$ es isomorfo a ${\mathbb Z}$ . qed

Por lo tanto, cada elemento $\gamma'\in \Gamma$ que envía $\tilde\alpha$ a un $\gamma$ -arco invariante, pertenece al grupo cíclico $\Delta$ . Este último contiene $\langle \gamma\rangle$ como subgrupo de índice finito (ya que $\gamma\ne 1$ ). Por lo tanto, la preimagen de $\alpha$ en $H^2$ sólo contiene un número finito de $\gamma$ -arcos invariantes.