Puntos de inflexión y segunda derivada de la función de onda

Question

He estado estudiando el oscilador armónico cuántico, o al menos el nivel de energía más bajo, y me he topado con una característica interesante. La segunda derivada de posición de la función de onda es 0 en el borde de la región clásicamente permitida.

$$ \phi\propto e^{-x^2/2a^2} \implies \frac{d^2}{dx^2}\phi(x=\pm a)=0 $$

donde $a=\sqrt{\frac{\hbar}{m\omega}}$

La energía total es $E=\frac{\hbar\omega}{2}$ y la energía potencial es $V=1/2 m\omega^2x^2$ . Son iguales cuando $x=\pm a$ .

¿Por qué la desaparición de la segunda derivada y el límite de la región clásicamente permitida ocurren en el mismo punto?

Answer 1

Para una función propia de energía $E$ : $$0 = (\hat{H} - E) \,\psi = \frac{1}{2m} \hat{P}^2 \,\psi + (\hat{V}-E) \,\psi$$ o, en representación de la posición: $$\frac{1}{2m} \frac{d^2}{dx^2} \psi(x) = (V(x)-E) \,\psi(x)$$ por lo que la segunda derivada de posición de $\psi$ desaparece siempre que $V(x) = E$ es decir $x$ está en el límite de la región clásicamente permitida.

Como menciona @By Symmetry, también podemos leer de esta ecuación que la función de onda tiende a tener un comportamiento oscilatorio * en la región físicamente permitida, y suprimirse exponencialmente fuera de .

_{* En el caso del estado base del oscilador armónico, el comportamiento oscilatorio no es obvio porque sólo hay $1/2$ una oscilación dentro de la región permitida...}

Answer 2

La función de onda en estado básico del oscilador armónico es una gaussiana. Los puntos de inflexión de una gaussiana (donde la segunda derivada es $0$ ) se producen a más y menos una desviación estándar del punto medio. Así que esto es, de forma ligeramente indirecta, decirte que la dispersión media de la posición de la partícula en el suelo viene dada por el tamaño de la región clásicamente permitida.

Es una característica general que en las regiones clásicamente prohibidas el término de energía cinética es el Hamiltoniano debe ser negativo, que tiende a dar lugar a la función de onda decae exponencialmente en estas regiones.

Answer 3

En un punto de inflexión, o inflexión, en el que la ecuación de onda pasa de un punto de movimiento ascendente a través de un cambio infinitamente corto (presumiblemente) a una trayectoria descendente, la inflexión parece imponer la condición de que pueda comenzar una variedad casi desconcertante de trayectorias diferentes. La onda, en la inflexión, no sabe si continúa una onda sinusoidal, una hipérbola, una línea recta, un círculo, una elipse o cualquier otra curva continua suave.

Vi un grupo de las posibilidades dentro de una onda fotónica. Era una onda de energía o de momento. Utilicé ideas como el Tiempo de Planck y la Longitud de Planck para hacerme una idea de la imagen de la onda. De todas formas, el instante de ambigüedad en la inflexión parece ser donde puede surgir la incertidumbre en cuanto a la frecuencia, el momento o cualquier otra variable que siga la onda.

En ese punto, parece que la onda pierde una parte muy diminuta de su verdadera naturaleza en la probabilidad de que sea una de VARIAS posibilidades y la ambigüedad resulta en esa pérdida diminuta que puede ser una parte de, digamos, una teoría cuántica del desplazamiento al rojo observado en la luz de galaxias extremadamente distantes.

De nuevo, en ese instante las posibilidades aparte de la trayectoria verdadera (que finalmente por supuesto domina) incluye elipse, una trayectoria circular en la dirección equivocada, una hipérbola, gaussiana, etc. Ayuda familiarizarse con el cuanto de acción de Planck, la masa de Planck, el tiempo de Planck, la longitud de Planck y otras pequeñas constantes, porque la mayoría de las ondas que visualizamos son de luz o a veces de radio-tv.