¿Cómo es el límite superior de la aproximación de Arquímedes de $\pi$ ¿justificado?

Question

Arquímedes aproximó $\pi$ circunscribiendo e inscribiendo polígonos alrededor y dentro de círculos. Es obvio que el polígono interior tiene un perímetro inferior al del círculo. Pero, ¿cómo justificó que el polígono exterior tiene un perímetro mayor? Parece algo fuera del alcance de las herramientas de que disponían los antiguos griegos, salvo apelar a la intuición.

Answer 1

Se hace una secuencia monotónicamente decreciente de perímetros de polígonos.

Considere la posibilidad de $n$ -Gono circunscrito alrededor de un círculo. Ler $A,B,C$ cualesquiera tres vértices consecutivos en orden de rotación. Ahora, dibujar el radio desde el centro del círculo a $B$ que interseca el círculo en $B'$ . A continuación se traza la tangente en $B'$ que se cruza con $\overline{AB}$ en $B''$ y $\overline{BC}$ en $B'''$ . Entonces el segmento rectilíneo $\overline{B''B'''}$ es más corta que la combinación de $\overline{B'B}$ y $\overline{BB''}$ en el polígono original.

Aplique esta operación a todo el $n$ -con cada vértice desempeñando a su vez el papel de $B$ . Esto conduce a una circunscripción regular $2n$ -gon cuyo perímetro es más corto que el de la circunscripción regular original $n$ -gon. Al iterar, los perímetros decrecientes de los polígonos se acercan a los del círculo forzando a que los perímetros de los polígonos sean más largos.