Convergencia del operador lineal en $l^2$

Question

Sea L un operador lineal $l^2\to l^2$ definida por la matriz $(a_{ij})_{i,j=1}^\infty$ .

Suponiendo que: $$\sum_{j=-\infty}^\infty \sup_{i\in N}|a_{i, i+j}|$$

Converge a $K$ demuestre que $L$ está limitada por la suma anterior.

He probado el siguiente método:

Utilizando la suma anterior, se puede demostrar que $\sum_{j=1}^\infty a_{ij}$ Converge para cada $i$ (ya que el sol anterior es estrictamente mayor y converge) de lo contrario la propia secuencia converge tal y como está en $l^2$ y así:

$$||Lx||^2=\sum_{i=1}^\infty |\sum_{j=1}^\infty a_{ij}x_j|^2\leq\sum_{i=1}^\infty (\sum_{j=1}^\infty |a_{ij}x_j|)^2\leq ||x||^2\cdot\sum_{i=1}^\infty (\sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2) $$

Lo que significaría que uno tiene que demostrar que:

$$\sum_{i=1}^\infty (\sum_{j=1}^\infty |a_{ij}|^2)\leq(\sum_{j=-\infty}^\infty \sup_{i\in N}|a_{i, i+j})^2$$

Lo que me hace estar bastante seguro de que hay un enfoque mejor, o una forma sencilla de hacerlo que me estoy perdiendo.

Agradeceré cualquier consejo \guidance.

Edición: aclarando después de los comentarios, suponemos que $a_{ij}=0$ si $j\leq 0$ .

Answer 1

Para cada $n\in\mathbb Z$ , dejemos que $x_n$ denota el vector de valores de la diagonal desplazado por $n$ Eso es, $$ x_n=\bigl(a_{i,i+n}\colon i\in\mathbb N\text{ and }i+n\in\mathbb N\bigr). $$ La desigualdad que se quiere demostrar es equivalente a $$ \sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_2^2\leq \left(\sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_{\infty}\right)^2.\qquad (\star) $$ Para ver por qué esto es equivalente, observe que el lado izquierdo es el cuadrado del Norma de Frobenius que es igual a la norma del operador de $L$ como operador de $\ell_2(\mathbb N)$ a $\ell_2(\mathbb N)$ .

Prueba de $(\star)$ . Desde $\|x_n\|_2\leq \|x_n\|_{\infty}$ se deduce que $$ \sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_2^2\leq \sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_{\infty}^2. $$ Por otra parte, tenemos que $$ \left(\sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_{\infty}\right)^2=\sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_{\infty}^2+\sum_{n\not=m}\|x_n\|_{\infty}\ \|x_m\|_{\infty}\geq \sum_{n\in\mathbb Z}\|x_n\|_{\infty}^2, $$ ya que cada uno de los términos es no negativo. Encadenando estas dos desigualdades se obtiene $(\star)$ .