Cómo demostrar que $X_n\to0$ en probabilidad

Question

Sea $X_1,X_2,...$ variables aleatorias independientes, con $P(X_n=n)=1/{n^2}$ y $P(X_n=1/n)=1-1/{n^2}$ . Demuestre que $X_n\to0$ en probabilidad.

Tengo este problema en un viejo examen de probabilidad pero no estoy seguro de cómo usar la definición de convergencia en probabilidad:

$X_n\to X$ en probabilidad, si $$P(\omega \in \Omega | \lim_{n\to \infty}X_n(\omega))=1$$

p.d.: Estoy usando el libro de Sheldon Ross " Primer curso de probabilidad ", pero no tiene un tema convergente. ¿Hay algún libro mejor?

Answer 1

Decimos que $X_n \rightarrow 0$ en probabilidad si $$P ( X_n \geq \epsilon) \rightarrow 0$$ para cada $\epsilon$ .

Así que arregla cualquier $\epsilon$ .

Elige $N$ para que $\frac{1}{N} < \epsilon$ entonces para $n \geq N$ ¿puede encontrar un límite a la probabilidad de que $X_n \geq \epsilon$ ?