Homología relativa de espacios cocientes

Question

Haciendo algunos ejercicios me encuentro a menudo con argumentos como $$H_0(S^2,A)=H_0(S^2/A, A/A).$$ Aquí $A$ es una colección finita de puntos y $S^2$ es la esfera bidimensional.

¿Por qué?
Parece que se trata de un hecho general, por lo que me interesaría una respuesta más aplicable a casos más generales que el ejemplo proporcionado.

Answer 1

Para un subespacio $A\subseteq X$ si la inclusión $i:A\to{X}$ es un cofibración la proyección $$p:(X,A)\to (X/A,A/A)$$ induce un isomorfismo $$p_*:H_n(X,A)\to H_n(X/A,A/A) \cong \tilde{H}_n(X/A)$$ en homología (y cohomología) para todo $n$ . Algunos casos especiales importantes son $A$ siendo un subcomplejo de un complejo CW $X$ que es su caso, ya que podemos realizar un conjunto finito de puntos $A\subseteq S^2$ como subcomplejo de $S^2$ .

Una prueba de ello puede encontrarse en Hatcher, página 124.