Definir la derivada segunda ($f''$) sin usar la primera derivada ($f'$)

Question

La pregunta que me gustaría como preguntar es esto:

Si $f''(0)$ existe, no $f'$ existen en un barrio de $0$?

Por supuesto, en virtud de la definición estándar de $f''(0)$, ya hemos asumido que $f'$ existe en un barrio de $0$. Así que en su lugar:

Pregunta: ¿hay una manera estándar de definir $f''(0)$ como límite de la expresión que no incluye a $f'$ en ella, y si es así, podemos deducir del hecho de que $f''(0)$ existe $f'$ existe en un barrio de $0$?

Detalles

Si yo sé lo $f'(0)$ es, puedo hacer de $f''(0)$ ser la constante (si existe) de tal manera que $$ \lim\limits_{h \to 0} \frac{f(h) - \left[ f(0) + f'(0) h + \frac{1}{2} f"(0) h^2\right]}{h^2} = 0. $$ es decir, el polinomio de Taylor se aproxima a $f$ a de segundo orden. Entonces, yo podría simplemente enchufe para $f'(0)$ la expresión de $\frac{f(h) - f(0)}{h}$. Pero esto no funciona; todo lo cancela. Existe una forma estándar para definir $f''$ sin el uso de $f'$?

Probablemente debería poner un poco más de trabajo en contestar a mí mismo, pero primero quería ver si se trata de un estándar o conocida cuestión.

Answer 1

A la pregunta del título, la respuesta es Sí. Una respuesta es a menudo utilizado en la teoría de la diferenciación numérica, específicamente en diferencias finitas métodos. Por ejemplo:

$$ f''(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2} $$

En respuesta a la muy interesantes comentarios: de Hecho, el problema con esta centrada en la definición es que tiene el mismo problema con la definición de $f'(x)$ el uso de la expresión $$f'(x)=\lim_{h\to 0} \frac{f(x+h)-f(x-h)}{2h}$$ como para cualquier función odd este límite será de cero, incluso si la función no es continua. Aquí es otro intento:

$$f''(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x)-2f(x+h)+f(x+2h)}{h^2}$$

Me pregunto si la fórmula siguiente puede resolver este problema. En la literatura de las diferencias finitas, estos son conocidos como avance de la diferencia y de la antigua fórmula como una centrada en la diferencia. Una similar "hacia atrás", la expresión se pueden dar, y por supuesto, uno espera que ellos sean el mismo.

Sobre la otra pregunta: es posible demostrar que $f'(0)$ existe cuando el conjunto de puntos de discontinuidad de la $f''$ es de medida cero en un intervalo que contiene a $0$, ya que este se caracteriza Riemann-integrable funciones.