Cambio de variable en una ecuación diferencial

Question

Si tengo la siguiente ecuación diferencial:

$\dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y}{x} - (\dfrac{y}{x})^2$

Y si hago el cambio de variable: $\dfrac{y}{x} \rightarrow z$

Sé que tienen $\dfrac{dy}{dx} = z-z^2$

¿Qué es la $\dfrac{dx}{dy}$ ¿después del cambio de variable?

Answer 1

Supongamos que tienes una ecuación diferencial con el siguiente aspecto: $$y'=F\left ( \frac{y}{x}\right )$$

entonces puedes hacer una sustitución $v(x)=\frac{y}{x} \iff y=vx \implies y'=v+xv'$ para transformar tu ODE en una ODE en $v$ $$\implies v+xv'=F(v) \iff \frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}$$

Esta ecuación está separada y puedes resolverla por los métodos habituales.

En tu caso sí: $$y'=\frac{y}{x}-\left (\frac{y}{x}\right)^2$$

Una sustitución $u=\frac{y}{x} \iff ux=y \iff y'=u+xu'$ dará lugar a la ecuación diferencial:

$$xu'=-u^2$$

¿Puedes resolverlo desde aquí?

Answer 2

Si haces $y=x z$ , $y'=x z'+z$ y la ecuación se convierte en $$x z'+z=z-z^2$$ es decir $$x z'=-z^2$$ que es separable.