¿Existe en algún sitio una lista completa de curvas modulares de género pequeño $X_G$ ¿para G un subgrupo de GL(2,Z/(n))$? (digamos género <= 2), junto con ecuaciones? Estoy particularmente interesado en casos de género uno, y más aún en cartan dividido/no dividido, con o sin normalizadores.
Ken Mcmurdy tiene una lista aquí para $X_0(N)$ y Burcu Baran escribe ecuaciones para todos los $X_{ns}^+(p)$ de género <=2 en este preprint.
No, no existe una lista exhaustiva de ecuaciones: las ecuaciones conocidas están repartidas en varios artículos, y algunas personas (por ejemplo, Noam Elkies, John Voight; e incluso yo) conocen ecuaciones que no se han publicado en ningún sitio.
Cuando disponga de más tiempo, facilitaré los datos bibliográficos de algunos de los artículos que ofrecen listas de algunas de estas ecuaciones. Algunos nombres de los autores relevantes: Ogg, Elkies, González, Reichert.
En mi opinión, sería un servicio muy valioso para la comunidad de teoría de números crear una fuente electrónica de información sobre curvas modulares (incluyendo curvas de Shimura) de bajo género, incluyendo fórmulas de género, gonalidad, grupos de automorfismo, ecuaciones definitorias explícitas... En mi opinión absolutamente experta (es decir, hago y uso tales cálculos en mi propio trabajo, pero no soy un teórico de números computacional especialmente bueno: es decir, incluso yo puedo hacer estos cálculos, así que sé que no son tan difíciles), este es un proyecto factible e incluso bastante modesto comparado con algunas cosas relacionadas que ya existen, por ejemplo, las bases de datos de formas modulares de William Stein y los paquetes de álgebra de cuaterniones de John Voight.
Es posible que sea un poco demasiado fácil por nuestro propio bien, es decir, existe la sensación de que uno debe hacerlo por sí mismo. Pero creo que, según los estándares actuales de lo que debería ser el conocimiento matemático común, esto es una gran pérdida de tiempo para mucha gente. Por ejemplo, casualmente acabo de hablar con uno de mis estudiantes, J. Stankewicz, que ha dedicado algún tiempo a implementar un software para enumerar todos los cocientes Atkin-Lehner completos de curvas de Shimura semiestables (sobre Q) con género acotado. Le asigné este pequeño proyecto porque sería bueno tener esa información, y creo que ha aprendido algo, pero la verdad es que hay gente que probablemente ya tiene código para hacer exactamente esto y lamento que haya pasado tanto tiempo reinventando esta rueda en particular. (Sí, él lee MO, y sí, esto es una especie de disculpa en mi nombre).
¿Quizás este sea un buen tema para las próximas jornadas SAGE en el MSRI?
Anexo : Algunas referencias:
Kurihara, Akira Sobre algunos ejemplos de ecuaciones que definen curvas de Shimura y la uniformización de Mumford. J. Fac. Univ. Tokyo Sect. IA Math. 25 (1979), no. 3, 277--300.
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Reichert, Markus A. Explicit determination of nontrivial torsion structures of elliptic curves over quadratic number fields. Math. Comp. 46 (1986), no. 174, 637--658.
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Gonzàlez Rovira, Josep Ecuaciones de curvas modulares hiperelípticas. Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 41 (1991), no. 4, 779--795.
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Noam Elkies, ecuaciones para algunas curvas modulares hiperelípticas, principios de los 90. [Hasta donde yo sé, nunca se han hecho públicas, pero si quieres saber la ecuación de una curva modular, ¡trata de enviar un correo electrónico a Noam Elkies!]
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Elkies, Noam D. Cálculos de curvas de Shimura. Algorithmic number theory (Portland, OR, 1998), 1--47, Lecture Notes in Comput. Sci., 1423, Springer, Berlín, 1998.
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Un algoritmo que se utilizó para encontrar ecuaciones definitorias explícitas para $X_1(N)$ , $N$ prime, puede encontrarse en
Pete L. Clark, Patrick K. Corn y el Grupo de Teoría de Números VIGRE de la UGA, Cálculo de curvas elípticas con multiplicación compleja preprint.
Esto es sólo una primera pasada. Probablemente he encontrado algo así como 10 documentos más sobre este tema, y yo no estaba familiarizado con algunos de los documentos que otros han mencionado.
Las ecuaciones explícitas para X_1(N) que se han optimizado para reducir tanto el grado como el tamaño de los coeficientes están disponibles para N <= 50 en http://math.mit.edu/~drew/X1_curves.txt . Se han obtenido mediante el algoritmo descrito en http://arxiv.org/abs/0811.0296 .
EDITAR : Las tablas de ecuaciones de definición de X_1(N) para N <= 189 ya están disponibles en http://www-math.mit.edu/~drew/X1_altcurves.html
También está el trabajo de Broker, Lauter y Sutherland "Modular polynomials via isogeny volcanoes" http://arxiv.org/abs/1001.0402 que proporciona un algoritmo rápido (en la práctica) para calcular polinomios modulares $\Phi_l(X,Y)$ (es el polinomio que satisface $\Phi_l(j(z),j(lz)) = 0$ donde $j$ es el habitual $j$ -invariante) para $l$ primo que es un modelo altamente singular para $X_0(l)$ y otros polinomios análogos asociados, por ejemplo, a la función modular $f$ que genera un campo de funciones asociado a un subgrupo de congruencia de grado 72 sobre $\Gamma_0(1)$ . Sutherland acaba de hablar aquí ayer sobre esto. Por ejemplo, puede calcular $\Phi_l(X,Y)$ para $l$ unos 20000. Lo interesante de este algoritmo es que puede calcular $\Phi_l$ módulo de un primo pequeño sin calcularlo realmente sobre $\mathbb{Z}$ y reduciendo.
En los artículos de Cummins y Pauli y Yang, los cálculos se realizan esencialmente utilizando "unidades modulares" (véase Kubert y Lang), que son funciones explícitas sobre $X(N)$ (a veces con carácter) para las que conocemos el divisor, y luego combinarlas de varias maneras y utilizar cálculos del tipo Riemann-Roch. El método de Broker, Lauter y Sutherland utiliza la interpretación modular de $\Phi_l$ en términos de isogenias, de una manera bastante inteligente. Creo que, con el tiempo, éste será el camino a seguir.
Cummins y Pauli han calculado generadores para los campos de funciones de todos los subgrupos de congruencia de $\text{PSL}_2(\mathbb{Z})$ del género $\le 24$ en:
http://www.mathstat.concordia.ca/faculty/cummins/congruence/
Hace unos meses que no lo miro, pero creo que el documento complementario http://www.emis.de/journals/EM/expmath/volumes/12/12.2/pp243_255.pdf habla de los generadores. Mientras tanto, hay un artículo de Yifan Yang "Defining equations of modular curves" Advances in Mathematics volumen 204, número 2, 20 de agosto de 2006, páginas 481-508
que proporciona tablas de ecuaciones para muchas curvas modulares, y analiza una metodología para encontrar "buenas" ecuaciones (es decir, aquellas con coeficientes pequeños y un número reducido de términos en los polinomios definitorios).
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