Supongamos que $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ se da. Nos interesa el espacio, $\mathcal{M}$ de funciones medibles de $\Omega$ a un conjunto $S=\{1,2,\ldots,n\}$ con la topología discreta estándar. Dejemos también que $(p_1,p_2,\ldots,p_n)$ donde $\sum_{j=1}^n p_j=1$ y $0<p_j<1$ .
¿Cuáles son las condiciones necesarias para $(\Omega,\mathcal{A},\mu)$ para concluir que existe una secuencia, $X_1, X_2, X_3, \ldots$ de $\mu$ -independientes (def. más adelante) variables aleatorias en $\mathcal{M}$ con distribuciones idénticas $\mu(X_i^{-1}(\{j\}))=p_j$ ?
- $X$ y $Y$ son $\mu$ -independiente si para todo $A\in\sigma(X)$ y $B\in\sigma(Y)$ , $\mu(A\cap B)=\mu(A)\mu(B)$ donde $\sigma(X)$ y $\sigma(Y)$ son las subálgebras sigma de $\mathcal{A}$ generado por las preimágenes de conjuntos medibles en $S$ (es decir, preimágenes de todos los subconjuntos de $S$ desde $S$ es discreto)
Ejemplos:
- Cualquier discreto $\Omega$ hace no permiten una secuencia i.i.d. como la descrita anteriormente.
Prueba: El conjunto $\{\sigma(X_i), i=1,\ldots,\infty\}$ es finito porque $\mathcal{A}$ es finito. Así, para algunos $i_1\ne i_2$ , $\sigma(X_{i_1})=\sigma(X_{i_2})$ . Por independencia, si $A=X_{i_1}^{-1}(\{j\})=X_{i_2}^{-1}(\{j\})$ entonces $\mu(A)=\mu(A\cap A)=\mu(A)\mu(A)$ . Esto implica $\mu(A)\in\{0,1\}$ violando la suposición de que $0<p_j<1$ .
- Si $n=2$ , $p_1=2/3, p_2=1/3$ y $\Omega=\mathbb{R}$ con medida de Lebesgue entonces hay hace existe una secuencia i.i.d. con la ley dada.
Construcción Véase la imagen siguiente. Básicamente, construir $X_1$ tener $X_1([0, 2/3))=1$ y $X_1([2/3, 1])=2$ . A continuación, para $X_j$ divide cada uno de los intervalos del paso anterior de forma autosimilar. Tiene que haber alguna regla para asignar los puntos finales como si todos los intervalos fueran de la forma $[a,b)$ a menos que $b=1$ . 
