a_i son enteros positivos y no iguales entre sí .Demostrar : $\frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\geqslant \frac{2n+1}{3}$

Question

Conocí a esta desigualdad :

a_i (i de 1 a n)son enteros positivos y no iguales entre sí .

Demostrar : $\displaystyle \frac{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}{a_1+a_2+\cdots+a_n}\geqslant \frac{2n+1}{3}$

Lo intenté:

$\displaystyle \Leftrightarrow \frac{n(n+1)}{2}\sum_{i=1}^n a_i^2\geqslant\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}\sum_{i=1}^n a_i$

$\displaystyle \Leftrightarrow\sum_{i=1}^n i\sum_{i=1}^na_i^2\geqslant\sum_{i=1}^ni^2\sum_{i=1}^na_i$

Parece correcto.Pero no se como probarlo.Quien me puede ayudar. Gracias.

Answer 1

Reescriba la desigualdad como $$ \sum_{i=1}^n \left(a_i^2 - \dfrac{2n+1}{3} a_i\right) \ge 0$$ Completando el cuadrado, resulta $$ \sum_{i=1}^n \left(a_i - \dfrac{2n+1}{6}\right)^2 \ge \dfrac{n (2n+1)^2}{36}$$ Ahora está claro que el menor valor posible del lado izquierdo (para enteros positivos distintos $a_i$ ) es cuando $a_i = i$ para $i=1\ldots n$ en cuyo caso el lado izquierdo resulta ser $$ \sum_{i=1}^n \left( i - \dfrac{2n+1}{6}\right)^2 = \dfrac{n(2n+1)^2}{36}$$