Demostrar que un grupo $G$ de orden $375$ tiene un subgrupo de orden $15.$

Question

Demostrar que un grupo $G$ de orden $375$ tiene un subgrupo de orden $15.$

Mi pensamiento:

$5|O(G)\implies G$ tiene un subgrupo $H$ de orden $5.$

$3|O(G)\implies G$ tiene un subgrupo $K$ de orden $3.$

$|H\cap K|=(e)$ y así $|HK|=\dfrac{|H|.|K|}{|H\cap K|}=15$

Ahora si puedo mostrar $HK=KH$ entonces hemos terminado. ¡Pero no sé si se sostiene del todo!

Answer 1

Por los teoremas de Sylow, el grupo tiene ciertamente una Sylow normal $5$ -subgrupo, y o bien tiene un Sylow normal $3$ -subgrupo, o bien tiene 25 Sylow $3$ -subgrupos.

Sea $F$ significa a $5$ -subgrupo y $T$ significa un Sylow $3$ -subgrupo. Si $F$ y $T$ son normales, entonces se centralizan, y tu argumento funciona (¿por qué?)

Si en cambio $T$ no es normal, hay $25$ Sylow 3's. Pero el número de Sylow 3 es el índice del normalizador $N_G(T)$ . ¿Qué dice esto sobre su orden?

Answer 2

Pista: $n_3$ es $1$ o $25$ por los teoremas de Sylow. Si $n_3 = 1$ entonces puede mostrar $HK = KH$ donde $H$ y $K$ son como usted las definió. Si $n_3 = 25$ comprueba el tamaño del normalizador $N_G(K)$ .