Homomorfismos $H \to \operatorname{Aut}(K)$ que inducen productos semidirectos isomorfos para los sin centro $K$

Question

Esto es una continuación de esta pregunta anterior: ¿Los homomorfismos $H \to \operatorname{Aut}(K)$ que coinciden en el nivel de $\operatorname{Out}(K)$ inducen productos semidirectos isomorfos?

Intento comprender por qué $S_n$ no parece aparecer como subgrupo normal de un producto semidirecto no trivial excepto cuando $n=6$ . Dos hechos relevantes: $S_n$ no tiene centro cuando $n \geq 3$ y su grupo de automorfismo exterior es trivial excepto cuando $n = 6$ . Esto plantea una cuestión más general:

Si $\phi,\psi:H \to \operatorname{Aut}(K)$ inducen el mismo mapa $H \to \operatorname{Out}(K)$ y si $K$ no tiene centro, entonces es cierto que $K \rtimes_\phi H \cong K \rtimes_\psi H$ ?

Answer 1

La respuesta sigue siendo no.

Por ejemplo $K=A_5$ y $H = \langle a,b\mid a^4=b^2=1,ab=ba \rangle = C_4 \times C_2$ .

Elija $\phi$ tal que $\phi(a)$ es la conjugación por $(1,2,3,4)$ y $\phi(b)=1$ .

Elija $\psi$ tal que $\psi(a)$ es la conjugación por $(1,2)$ y $\psi(b)$ es la conjugación por $(1,2)(3,4)$ .

Entonces $\phi$ y $\psi$ inducen el mismo mapa a ${\rm Out}(K)$ pero los productos semidirectos asociados no son isomorfos, esencialmente porque $\phi$ y $\psi$ tienen núcleos diferentes. De hecho, el que tiene $\phi$ ha centrado un Klein $4$ -y el de $\psi$ tiene centro cíclico, que es similar al ejemplo que di para la pregunta anterior.