El título lo dice todo. Busco una referencia a lo siguiente:
Q. Sea $X, Y, Z$ sean espacios (topológicos) finitos y no vacíos. ¿Cuándo $X \times Y \cong X \times Z$ implica $Y \cong Z$ (en la categoría de espacios topológicos)?
Se trata, a fin de cuentas, de un caso especial de un famoso problema (relativo a la cancelabilidad, hasta iso, de los productos directos u otras "operaciones binarias" en todo tipo de categorías), originado a partir de una pregunta de M.S. Ulam que apareció por primera vez como Problème 56 en la p. 285 de Fund. Math 20 (1933), nº 1; véase también la nota 2 en R.H. Fox, Sobre un problema de S. Ulam relativo a los productos cartesianos Fondo. Mat. 27 (1947), nº 1, 278-287. Pero la bibliografía es vasta (incluso ciñéndonos a los espacios topológicos), y no he podido encontrar ninguna referencia al caso que me interesa actualmente.
Permítanme mencionar que no tengo un ejemplo que demuestre que $X \times Y \cong X \times Z$ necesita no implica $Y \cong Z$ en mi pregunta (para ser sincero, ni siquiera he intentado encontrar uno), aunque no creo lo contrario.
Antecedentes. El sentido de la pregunta es sencillo, así que permítanme complicarla un poco más, pero sólo con la esperanza de hacerla también un poco más interesante (al menos desde ciertos puntos de vista).
Fijar un universo no vacío $\mathscr U$ . Sea $\mathscr T$ sea la clase de todos los $\mathscr U$ -pequeño, no vacío espacios (topológicos), y $\sim$ la relación de equivalencia en $\mathscr T$ que identifica dos espacios si son homeomórficos. Entonces el cociente de $\mathscr T$ por $\sim$ se convierte naturalmente en un monoide conmutativo reducido, $\mathcal M$ dotándolo de la evidente operación binaria inducida por el producto directo de espacios.
Sea $\mathcal M_{\rm fin}$ sea el submonoide de $\mathcal M$ que consiste en todas y sólo las clases de equivalencia que contienen espacios finitos: Se trata de un submonoide divisor-cerrado, unidad-cancelativo de $\mathcal M$ (para la terminología, véanse las notas al final de este post), y es evidente que existe una función $\lambda: \mathcal M_{\rm fin} \to \mathbf N$ tal que $\lambda(\mathsf t_1) < \lambda(\mathsf t_2)$ para todos distinto clases $\mathsf t_1, \mathsf t_2 \in \mathcal M_{\rm fin}$ con $\mathsf t_1 \mid \mathsf t_2$ en $\mathcal M_{\rm fin}$ (basta con asignar cada clase de isomorfismo $\mathsf t \in \mathcal M_{\rm fin}$ al número de elementos de cualquier espacio $T \in \mathsf t$ ). Por lo tanto, se deduce de en otro lugar que $\mathcal M_{\rm fin}$ es un BF-monoide, es decir, (i) cada clase es un producto finito de átomos de $\mathcal M_{\rm fin}$ y (ii) las factorizaciones (en átomos) de una clase fija no pueden ser arbitrariamente grandes. En consecuencia, es natural preguntarse si $\mathcal M_{\rm fin}$ es cancelativa, ya que esto facilitaría mucho las cosas (al menos desde la perspectiva de la teoría de la factorización, que es la motivación de mi pregunta).
Notas. Sea $H$ sea un monoide escrito multiplicativamente $H$ . Decimos que $H$ es unidad-cancelativa si $xy = x$ o $yx = x$ para algunos $x, y \in H$ implica $y \in H^\times$ donde $H^\times$ es el grupo de unidades de $H$ . Un elemento $a \in H$ se denomina átomo si (i') $a \notin H^\times$ y (ii') $a \ne xy$ para todos $x, y \in H \setminus H^\times$ . Por último, un submonoide $M$ de $H$ se llama divisor-cerrado si $x \in M$ siempre que $x \mid_H y$ y $y \in M$ .
