¿Cómo podemos demostrar que $\mathbb Q$ no es gratis?

Question

Estoy realmente confundido a partir de la definición.

¿Cómo podemos saber que $\mathbb Q$ no es gratis?

En la clase de personas que lo utilice como un hecho trivial, pero no me parecen entender.

Edit : sí, yo significaba ser libre libre de $\mathbb Z$ módulo, gracias!

Answer 1

Cualquiera de los dos a cero racionales son linealmente dependientes: si $a,b\in\mathbb{Q}$, $a\neq 0 \neq b$, entonces existe un valor distinto de cero enteros $n$ $m$ tal que $na + mb = 0$.

Así que si $\mathbb{Q}$ eran libres, sería libre de rango $1$, y por lo tanto cíclico. Pero $\mathbb{Q}$ no es un cíclico $\mathbb{Z}$ módulo (es divisible, por lo que no es isomorfo a $\mathbb{Z}$, el único infinito cíclico $\mathbb{Z}$-módulo.

Por lo $\mathbb{Q}$ no puede ser libre.

Answer 2

Supongamos $a/b$ $c/d$ son dos miembros de un conjunto de generadores libres, y ambas fracciones en su mínima expresión. Encontrar $e=\operatorname{lcm}(b,d)$ y escribir fracciones como $(\text{something}/e$). Entonces $$ \frac a b = \frac 1 e + \cdots + \frac 1 e\text{ y }\frac c d = \frac 1 e + \cdots + \frac 1 e, $$ donde en general el número de términos en la suma de dos será diferente.

A continuación, $a/b$ $c/d$ son no dos miembros independientes de un conjunto de generadores, puesto que ambos están en el conjunto generado por $1/e$. Por lo $\mathbb{Q}$ debe ser generado por un solo generador, por lo $\mathbb{Q} = \{ 0, \pm f, \pm 2f, \pm 3f, \ldots \}$. Pero que no incluye el promedio de $f$$2f$, que es racional.