Se trata del lema 68.5 de Munkres, que dice lo siguiente
Sea $\{G_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ sea una familia de grupos; sea $G$ sea un grupo; sea $i_{\alpha}:G_{\alpha}\longrightarrow G$ sea una familia de homomorfismos. Si se cumple la siguiente condición de extensión $(*)$ se cumple, entonces cada $i_{\alpha}$ es un homomorfismo inyectivo y $G$ es el producto libre de los grupos $i_{\alpha}(G_{\alpha})$ .
$(*)$ Dado un grupo $H$ y una familia de homomorfismos $h_{\alpha}:G_{\alpha}\longrightarrow H$ existe un homomorfismo $h:G\longrightarrow H$ tal que $h\circ i_{\alpha}=h_{\alpha}$ para cada $\alpha$ .
Para demostrarlo, necesitamos el siguiente teorema de unicidad:
Sea $\{G_{\alpha}\}_{\alpha\in J}$ sea una familia de grupos. Supongamos que $G$ y $G'$ son grupos y $i_{\alpha}:G_{\alpha}\longrightarrow G$ y $i_{\alpha}':G_{\alpha}\longrightarrow G$ son familias de homomorfismos inyectivos, tales que las familias $\{i_{\alpha}(G_{\alpha})\}$ y $\{i_{\alpha}'(G_{\alpha})\}$ generar $G$ y $G'$ respectivamente. Ahora bien, si ambos $G$ y $G'$ tienen la propiedad de extensión establecida en el teorema de extensión, entonces existe un isomorfismo único $\phi:G\longrightarrow G'$ tal que $\phi\circ i_{\alpha}=i_{\alpha}'$ para todos $\alpha$ .
Munkres demuestra en primer lugar que $i_{\alpha}$ es un homomorfismo inyectivo para cada $\alpha$ y no tengo ningún problema con ello. Luego trató de demostrar que $G$ es el producto libre de los grupos $i_{\alpha}(G_{\alpha})$ como sigue:
Existe un grupo $G'$ y una familia $i_{\alpha}':G_{\alpha}\longrightarrow G'$ de homomorfismos inyectivos tales que $G'$ es el producto libre de los grupos $i'_{\alpha}(G_{\alpha})$ . Por tanto, satisface el teorema de extensión y, por tanto, el teorema de unicidad implica que existe un isomorfismo $\phi:G\longrightarrow G'$ tal que $\phi\circ i_{\alpha}=i'_{\alpha}$ . De ello se deduce que $G$ es el producto libre de los grupos $i_{\alpha}(G_{\alpha})$ .
No entiendo muy bien la conclusión aquí, por su argumento, tenemos $$G\cong G'=\prod_{\alpha\in J}^{*}i'_{\alpha}(G_{\alpha}),$$ así que como mucho tenemos $$G=\prod_{\alpha\in J}^{*}\phi\circ i_{\alpha}(G_{\alpha}),$$ ¿cómo llegó de aquí a la conclusión de que $G$ es el producto libre de $i_{\alpha}(G)$ ?
Gracias.
Edición 1: Prueba del isomorfismo que preserva la estructura de producto libre:
En Lee Mosher señalado, necesitamos comprobar si la estructura de producto libre que preserva el isomorfismo, para pasar el $\phi^{-1}$ desde el exterior del producto libre hacia el interior.
Después de pensarlo un poco, generé una posible forma de mostrar el producto libre que preserva el isomorfismo. Además, como Lee Mosher Dicho esto, necesitamos la propiedad de isomorfismo, aunque el homomorfismo es suficiente para preservar la operación. Necesitamos que un mapa sea isomorfo para preservar la propiedad de palabra reducida y el $1-1$ corresponder entre la imagen y la preimagen, tal vez.
Para demostrar que el isomorfismo preserva la estructura de producto libre, necesitamos otra forma de realizar el producto libre de grupos. La definición que hemos utilizado hasta ahora procede de Munkres, y él afirmaba que utilizar esta definición nos facilitará mucho la vida en la demostración de la existencia de productos libres, ya que verificar las propiedades de los grupos, especialmente la asociatividad, será realmente tedioso e irritante si utilizamos la definición de la que voy a hablar.
Sin embargo, para demostrar la propiedad de grupo que preserva el isomorfismo, necesitamos especificar la propiedad de grupo y los elementos de grupo, en cuyo caso necesitamos la siguiente definición alternativa pero equivalente de producto libre.
[Definición alternativa] Sea $W$ denotan el conjunto de todas las palabras reducidas en los elementos de los grupos $G_{\alpha}$ . Entonces piensa en $G$ como siendo simplemente el conjunto $W$ y el producto de dos palabras se obtiene simplemente yuxtaponiéndolas y reduciendo el resultado. Así pues, la operación de grupo es simplemente el producto de elementos. El elemento de identidad $1$ corresponde a la palabra vacía, y cada grupo $G_{\beta}$ corresponde al subconjunto de $W$ formado por el conjunto vacío y todas las palabras de longitud $1$ de la forma $(x)$ para $x\in G_{\beta}$ y $x\neq 1_{\beta}$ .
Ahora pasamos a la prueba:
Entonces para cada $x\in G'$ puede escribirse como $x=x_{1}\cdots x_{n}$ donde $x_{i}\in i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$ y $\alpha_{i}\neq \alpha_{i+1}$ para todos $i$ . Entonces, como $\phi^{-1}$ es un homomorfismo, tenemos que $\phi^{-1}(x)=\phi^{-1}(x_{1}\cdots x_{n})=\phi^{-1}(x_{1})\cdots\phi^{-1}(x_{n})$ . Obsérvese ahora que por la propiedad de $\phi^{-1}$ : $i_{\alpha}=\phi^{-1}\circ i_{\alpha}'$ envía cada $x_{i}\in i'_{\alpha_{i}}(G_{\alpha_{i}})$ volver a $i_{\alpha_{i}}(G_{\alpha_{i}})$ Así que $\phi^{-1}(x)$ es un elemento que puede presentarse mediante palabras en $\phi^{-1}\circ i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$ a saber $(\phi^{-1}(x_{1}),\cdots,\phi^{-1}(x_{n}))$ donde $\phi^{-1}(x_{i})\in i_{\alpha_{i}}(G_{\alpha_{i}})$ para cada $i$ y $\alpha_{i}\neq \alpha_{i+1}$ para cada $i$ . Estas propiedades se mantienen ya que $\phi$ es un isomorfismo.
Lo anterior demuestra que $$\phi^{-1}\Big(\prod_{\alpha\in J}^{*}i_{\alpha}'(G_{\alpha})\Big)\subset \prod_{\alpha\in J}^{*}\phi^{-1}\circ i_{\alpha}'(G_{\alpha}).$$
A la inversa, para cada $y$ en el producto libre de la RHS de la inclusión anterior, se puede escribir como $y=y_{1}y_{2}\cdots y_{m}$ donde $y_{i}\in \phi^{-1}\circ i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$ y $\alpha_{i}\neq \alpha_{i+1}$ para todos $i$ . Desde $\phi^{-1}$ es un isomorfismo, para cada $y_{i}$ existe un único $x_{i}\in i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$ tal que $y_{i}=\phi^{-1}(x_{i})$ .
Así, $y$ también puede escribirse como $y=\phi^{-1}(x_{1})\phi^{-1}(x_{2})\cdots\phi^{-1}(x_{m})$ y puesto que $\phi^{-1}$ es un homomorfismo, tenemos que $y=\phi^{-1}(x_{1}x_{2}\cdots x_{m})$ donde $x_{i}\in i_{\alpha_{i}}'(G_{\alpha_{i}})$ y $\alpha_{i}\neq\alpha_{i+1}$ .
Esto demuestra la inclusión inversa y concluimos la prueba.
Tenga en cuenta que realmente no estoy seguro de si mi prueba es correcta, ya que es un poco confuso aquí .. así que por favor no dude en señalar cualquier error y corregirme si quieres :) ¡Gracias!
