Contraejemplo débil (Brouweriano) para la existencia de la inversa derecha de una suryección

Question

Estoy tratando el Ejercicio 2 de Análisis constructivo de Bishop , Capítulo 2 :

2. Construir una cartografía $f$ de un conjunto $A$ a un conjunto $B$ tal que $f$ es en $B$ pero no no existe una correspondencia $g: B \rightarrow A$ con $f (g(b)) = b$ para todos $b$ en $B$ .

No sé cómo definir $A$ para alcanzar débil contradicción de elegir un miembro del conjunto $f^{-1}(b)$ para cada $b$ .

Tal conjunto debe ser un conjunto indecidible, como $\{x|(x=0\wedge p)\vee(x=1\wedge \neg p)\}$ donde $p$ NO se sabe si es cierto o no, como Conjetura de Goldbach . Y la existencia de tal $g:B\rightarrow A$ debe demostrar $p$ ¡es cierto o no !

Otra serie $A$ puede ser, por ejemplo, $\mathbb{R}$ que no tiene tricotomía o decidibilidad de la igualdad .

Se agradece cualquier ayuda.

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# EDITAR :

Creo que este mapa no funciona, pero no es un mal intento ( $GC$ es Conjetura de Goldbach ):

Sea $A=\{x|(x=0\wedge GC)\vee(x=1\wedge \neg GC)\}$ y $B=\{2\}$ . $A$ es no vacío pero no es no vacía en el sentido de Libro del Obispo .

Define la función : $\left\{\begin{array}{ll} f:A\rightarrow B\\ f(x)\equiv2\end{array}\right.$ .

Ahora bien, si existe tal $g:B\rightarrow A$ entonces $g(2)$ ¡¡¡está disponible !!! (no es útil ?!)

Answer 1

Creo que he encontrado el contraejemplo :

Sea $A=\{0,1\}$ y $B=\{a,b\}$ donde $(a=b \longleftrightarrow GC)$ . [Vi esta idea en la prueba de ( $AC\rightarrow LEM$ )]

Ahora defina $\left\{ \begin{array}{} f:A\rightarrow B\\ f(0)=a \:,\:f(1)=b \end{array}\right.$

Claramente, $f$ es una suryección. Si tal $g$ existe, entonces puede decidir igualdad de $g(a)$ y $g(b)$ como igualdad de los miembros de $A$ ¡es decidible !

Por lo tanto, $\left\{ \begin{array}{} g(a)=g(b) \rightarrow a=b\\ g(a)\neq g(b)\rightarrow a\neq b \end{array}\right.$ . Por lo tanto, puede decidir sobre la igualdad de $a$ y $b$ etc. Conjetura de Goldbach

Contradicción