El objetivo de la mmp es encontrar un representante en cada clase birracional que por alguna razón pueda considerarse agradable.
Para las curvas la respuesta es clara, hay un único representante proyectivo liso y por cualquier consideración que sea el que mejor representa a la clase.
En el caso de las superficies, esto se complica, ya que existen mapas birracionales no triviales entre superficies proyectivas lisas. Sin embargo, como siempre hay una combinación de expansiones y reducciones, es relativamente fácil mantener el orden.
Obsérvese que a $(-1)$ -suele definirse como una curva isomorfa a $\mathbb P^1$ con número de autointersección $(-1)$ . Una definición quizás mejor que apunta a equivalentes de mayor dimensión es que un $(-1)$ -es una curva isomorfa a $\mathbb P^1$ con un número de intersección $(-1)$ contra $K_X$ donde $X$ es la superficie en la que vive la curva. Estas dos definiciones son equivalentes por la fórmula de la adjunción, pero la segunda tiene la ventaja de que no depende de $X$ siendo una superficie.
Veamos un modelo mínimo de una superficie. ¿Por qué lo elegimos como representante? En cierto sentido, podría haber otras formas de elegir un representante, pero se podría argumentar que un modelo mínimo es el modelo "más simple" que sigue siendo suave (tome nota de esto, nos daremos cuenta más tarde de que aquí la suavidad es en realidad algo más disfrazado). El teorema de Castelnuovo sobre la descomposición $(-1)$ -curvas dice que podemos "deshacernos de ellas", así que por qué no hacerlo. Contraigamos todo lo que podamos. Se puede demostrar con relativa facilidad que contraer una curva que no es una $(-1)$ -curva conducirá a puntos singulares.
Vale, entonces la estrategia es contraer todas las cosas que podamos y esperar que así obtengamos una teoría razonable. La segunda definición de $(-1)$ -curva sugiere que para encontrar lo que podemos contraer es a través de $K_X$ es decir, cosas que se pueden contraer y no causar demasiados problemas son $K_X$ -negativo. De hecho, hay una forma más precisa de decirlo, pero no voy a entrar ahora en detalles técnicos.
Así que, de esta manera o ya para superficies uno se da cuenta de que lo que hace que un modelo mínimo funcione es que $K_X$ es nef, es decir, la intersección con cualquier curva propia da un número no negativo. Entonces, ahora se dice que $\mathbb P^2$ es una superficie mínima pero $K_X$ es amplia negativa por lo que esta bastante lejos de ser nef. Sí, en la terminología moderna de la mmp, $\mathbb P^2$ en realidad no es mínimo. La afirmación es que toda variedad es birracional a una que es una serie de espacios de fibra de Fano sobre una variedad mínima.
Quizás debería mencionar aquí un ejemplo interesante, creo que se debe a Iitaka, o a alguien de su escuela: Tome un $3$ -variedad abeliana $A$ y mod out por la involución $(-1)\cdot$ . Resolver el $64$ puntos dobles y llamar al resultado $X$ . Entonces es relativamente fácil demostrar que $X$ no es birracional a una variedad proyectiva lisa con un haz canónico nef. En su momento se pensó que esto era una prueba de que los modelos mínimos no existían en dimensiones superiores, pero luego Reid y Mori se dieron cuenta de que sólo significa que los modelos mínimos no tienen por qué ser lisos. (N.B.: La respuesta de David antes aceptada empieza diciendo que un modelo mínimo debe ser no singular. Él dice que es demasiado ambicioso, pero puede que no esté absolutamente claro para todo el mundo que esto significa imposible como se ha dicho. Y prometí un comentario sobre por qué $2$ -son suaves. Lo que ocurre es que los modelos mínimos no son peores que terminal singularidades. Resulta que las singularidades terminales son suaves en codimensión $2$ por lo que, en particular, a $2$ -es realmente suave. Así pues, se podría argumentar que incluso los modelos mínimos de superficies tienen singularidades terminales, es decir, que ésa es la clase natural de singularidades para un modelo mínimo. Sucede que en dimensión $2$ estas singularidades son indistinguibles de los puntos lisos).
De todos modos, así que queremos $K_X$ ser nef y para obtenerlo queremos contraer curvas que sean $K_X$ -negativo. Resulta que esto se puede hacer, pero es el resultado de algunos resultados muy profundos de Mori, Kollár, Kawamata, Reid, Shokurov y otros. Ahora bien, ya en la dimensión $2$ conseguimos algo más que soplar $(-1)$ -curvas: el mapa gobernante de una superficie gobernada y $\mathbb P^2$ a un punto son contracciones de $K_X$ -curvas negativas. En general, así es como podemos acabar con un espacio de fibras de Fano. Es posible que la contracción de una $K_X$ -La curva negativa no es birracional, pero no pasa nada. Esto realmente significa que la clase de ciclo de esa curva cubre todo el $X$ y, en particular, no tiene reglas y nunca tendrá un modelo mínimo en el sentido de $K_X$ ser nef.
Si la contracción es birracional, aún hay dos posibilidades: que sea una contracción divisoria o una contracción pequeña. La primera significa que el conjunto excepcional es divisor, la segunda que es más pequeño que eso. Ahora bien, ya la primera puede traer singularidades, pero no son tan malas y el programa puede continuar.
Cuando la contracción es pequeña, hay varios problemas. Sencillamente, las singularidades se vuelven demasiado malas. El mal se manifiesta principalmente en que la singularidad es no $\mathbb Q$ -Es decir, Gorenstein, $K$ ya no será $\mathbb Q$ -Cartier que por otra parte es necesario. Y no es que esto pueda ser así, sino que lo será con toda seguridad: si el objetivo tuviera un $\mathbb Q$ -Cartier $K$ podría retirarse, al menos numéricamente (o podría retirarse algo de potencia). El retroceso tendría que coincidir con $K$ arriba ya que el mapa es un isomorfismo en codimensión $1$ . Sin embargo, un pull-back es necesariamente trivial en la fibra del mapa, pero la fibra fue elegida para ser $K$ -negativo. Esto es una contradicción, por lo que el objetivo no puede tener un $\mathbb Q$ -gavilla canónica de Cartier.
Los flips se inventaron para remediar esta situación: la razón original para querer contratar era "librarse" de esta $K$ -curva negativa, así que vamos a deshacernos de ella de otra manera. Siendo $K$ -negativa es realmente una condición de curvatura y dice algo sobre el haz normal de la curva dentro de la variedad. (Vale, hay que ajustar esto ligeramente para las singularidades, pero no estoy escribiendo un artículo preciso aquí). Así que la idea del giro es la siguiente: cambiemos el haz normal de la curva. Por lo tanto, vamos a "cortarlo" y ponerlo de nuevo con el haz normal opuesto, por lo que de una manera "volteada". (Observación $3$ -En las dimensiones superiores no sólo se invierten las curvas, pero esto es mejor dejarlo para otro momento).
Supongo que escribí un montón de cosas sólo para decir eso y algunas personas ya han dicho cosas parecidas, pero quizá este pequeño ensayo aporte alguna idea nueva.
Para responder a tu pregunta sobre si existe una construcción similar en otro lugar, la respuesta es "sí". Un "flip" es como una "cirugía" en topología. Pero no soy un experto en eso. En realidad, sólo para incluir un descargo de responsabilidad: tampoco pretendo ser un experto en volteos.
