¿Velocidad relativa y derivada en tiempo propio de la desviación geodésica?

Question

De wiki

Para cuantificar la desviación geodésica, se empieza por establecer una familia de geodésicas poco espaciadas indexadas por una variable continua s y parametrizadas por un parámetro afín $\tau$ . Es decir, para cada $s$ la curva barrida por $\gamma _s(\tau)$ como varía es una geodésica. Cuando se considera la geodésica de un objeto masivo, a menudo es conveniente elegir $\tau$ para ser el tiempo propio del objeto. Si $x^(s, )$ son las coordenadas de la geodésica $\gamma_s(\tau)$ entonces el vector tangente de esta geodésica es:

$$ T^\mu = \frac{\partial x^\mu(s,\tau)}{\partial \tau} $$

Si $\tau$ es el tiempo adecuado, entonces $T_\mu$ es la cuatro-velocidad del objeto que viaja a lo largo de la geodésica. También se puede definir un vector de desviación, que es el desplazamiento de dos objetos que viajan a lo largo de dos geodésicas infinitesimalmente separadas:

$$ X^\mu = \frac{\partial x^\mu(s,\tau)}{\partial s} $$

Ahora, ingenuamente

$$ v^\mu = T^\beta \nabla_\beta X^\mu$$

Debería $v^\mu$ ¿es la velocidad relativa? Si es así, ¿cómo encaja con esta definición de velocidad relativa ? (cuando sus geodésicas se cruzan)

$$ v:=-\frac{1}{g(u^,u)} u^ - u \tag{1} $$

Creo que he conseguido confundirme.

Answer 1

Efectivamente, parece que se ha confundido :-)

He editado varias de tus fórmulas. Échales un vistazo.

La ecuación

$$ v^\mu = T^\beta \nabla_\beta X^\mu$$

mide la velocidad de separación entre 2 geodésicas vecinas, por lo que mide su 4-velocidad relativa. Sin embargo, la pregunta citada y el artículo mencionado en ella llevan la cuestión a un nivel más profundo... hay que darse cuenta de que la "velocidad relativa ordinaria" de un objeto que pasa cerca de uno, independientemente de si se mueve en una geodésica o no, es simplemente la componente espacial de su 4-velocidad (corregida por a $\gamma$ factor). Esto supone que se utiliza un sistema de coordenadas localmente inerciales (LIC). En MTW Gravitation Ex. 2.5 página 65 se te guía suavemente hacia esta fórmula y coincide con tu eq. 1.

Así que la ecuación 1 es simplemente la proyección corregida gamma de la ecuación $$ v^\mu = T^\beta \nabla_\beta X^\mu$$

Se puede ver mejor su relación, observando que - puesto que $X$ y $T$ vectores conmutan (forman un sistema de coordenadas 2D) - tienes que $$ v^\mu = X^\beta \nabla_\beta T^\mu$$ que representan la diferencia de 4 velocidades en geodésicas vecinas, similar a la ec. 1. Puedes leer sobre esto en MTW Box 11.4, por ejemplo.