El mapa $f:T_1M\to \hat{\mathbb{R}}$ es continua.

Question

Sea $(M,d)$ sea una variedad riemanniana completa y sea $T_1M=\{v\in TM: \|v\|=1\}$ . Define un mapa, $$s:T_1M\to \hat{\mathbb{R}},~~ s(v)= \sup\{t:d(\pi(v),\operatorname{exp}(tv))=t\}$$ donde $\pi$ es el mapa de proyección del haz tangente a $M$ $(\pi(p,v)=p,~(p,v)\in TM)$ . Necesito probar que el mapa $s$ es continua y $\hat{\mathbb{R}}$ es la compactificación en un punto de $\mathbb{R}$ .

Se agradecerá cualquier referencia o ayuda.

Answer 1

Este es un comentario extenso.

Yo llamaría a tu función $s$ la función de distancia de corte en el haz de la esfera unidad $T_1M$ .

La afirmación no es cierta sin más suposiciones. Consideremos, por ejemplo, un conjunto abierto en forma de plátano $M\subset\mathbb R^2$ con la métrica euclidiana. Cuando la geodésica que parte de $v$ es tangente a una parte cóncava de la frontera, surgen problemas. Si se mantiene fijo el punto base y se aproxima la dirección $v$ desde diferentes direcciones, se obtienen diferentes límites. El problema básico es que el mapa exponencial no está definido para todo el tiempo.

Este ejemplo y su definición de la función $s$ parece sugerir la suposición de que todas las geodésicas están definidas para todo el tiempo. En otras palabras, $M$ se supone (geodésica o métricamente; cf. Hopf-Rinow) completa.

Si es cierto, quizá funcione algo así: Supongamos que $s$ era discontinua en un punto $v\in T_1M$ donde $s(v)<\infty$ . Entonces existe una secuencia de puntos $v_k\in T_1M$ y $\epsilon>0$ para que $v_k\to v$ y $s(v_k)\geq s(v)+\epsilon$ para todos $k$ o $s(v_k)\leq s(v)-\epsilon$ para todos $k$ . (Para ver esto, recuerde que la continuidad significa que si $v_k\to v$ entonces $s(v_k)\to s(v)$ . Si esto falla, existe una secuencia tal que las imágenes no convergen al límite correcto o en absoluto; entonces tome una subsecuencia adecuada).

Answer 2

¿Está tan seguro de que esto es continuo? La noción relevante aquí es la locus de corte . Tu función pregunta cuánto puede alargarse una geodésica antes de dejar de ser minimizadora. El lugar de corte de un punto $p$ en una variedad riemanniana $M$ es el conjunto formado por todos los puntos $\gamma(t_0)$ sobre geodésicas $\gamma$ a partir de $p$ tal que $\gamma$ minimiza la distancia hasta $t_0$ pero no más allá. En otras palabras, $t_0=\sup\{t:d(p,\gamma(t))=t\}$ . Si $\gamma_v$ denota la geodésica con punto inicial $\pi(v)$ y velocidad inicial $v$ entonces $s(v)$ es sólo la longitud de la porción $\gamma_v$ entre su inicio y el locus de corte.

Aquí tienes una imagen de un lugar de corte de un vértice de un cubo. Por supuesto que no es suave, pero uno debería ser capaz de suavizar un poco las cosas y mantener la imagen más o menos igual. Pero ahora ves que si empiezas desde el punto 0 y apuntas al punto 4, la distancia al punto de corte es drásticamente diferente que si apuntas un poco a la izquierda o a la derecha.