Continuos topológicos no métricos

Question

¿Qué resultados importantes se obtienen con los continuos no métricos o dónde puedo encontrar un estudio de dichos resultados?

Existen tres definiciones de un continuo en torno a: un espacio topológico no vacío que es

(1) métrica compacta conexa, o

(2) Hausdorff compacta conectada [por ejemplo, Topología general por Willard], o

(3) compacto conectado [ ProofWiki ].

Me interesan las propiedades no triviales comúnmente conocidas para la definición (1) que se ha descubierto que también son válidas para las definiciones (2) o incluso (3).

Answer 1

Para ahorrar espacio, diré:

(1) un espacio métrico compacto y conexo = espacio de tipo I

(2) compacta, conexa, Hausdorff = tipo II

(3) compacto y conectado = tipo III

Algunos resultados:

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Teorema 1. "existencia de puntos no cortados"

Sea $X$ sea un espacio topológico conexo. Entonces $c \in X$ es un $\textit{non-cut point}$ de $X$ si $X\setminus\{c\}$ está conectado.

Se sabe desde hace tiempo que los espacios de tipo II tienen al menos dos puntos no cortados. Sin embargo, este artículo demuestra que "cualquier espacio topológico sin puntos de no corte no es compacto". Por tanto, el teorema de la existencia de puntos de no corte también es válido para los espacios de tipo III.

Prueba de la existencia de un punto no cortado

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Teorema 2. "teoremas de bumping de frontera"

En términos generales, los teoremas de los choques de límites (hay algunas variaciones, de ahí el plural) afirman que las componentes conectadas de ciertos conjuntos deben "chocar" (intersecarse) con los límites de esos conjuntos.

Teorema 5.6 de la obra de Nadler $\textit{Continuum Theory - An Introduction}$ : Sea $E$ sea un subconjunto propio de un espacio de tipo I $K$ . Entonces el límite de cada componente de $E$ interseca el límite de $E$ . Kuratowski ofrece una demostración de este teorema para los espacios de tipo II en $\textit{Topology II}$ .

Intuitivamente creo que también debería ser cierto para los espacios de tipo III, pero no he encontrado una prueba :)

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Teorema 3. "los espacios de tipo III son horribles"

Sea $S = \{0, 1\}$ con la topología $\tau = \{\emptyset, \{0\},\{0,1\}\}$ . Se denomina espacio de Sierpinski y es un ejemplo de espacio de tipo III. (Es conexo porque no puede realizarse como la unión de dos conjuntos abiertos disjuntos, y es compacto porque es finito). Sin embargo, vemos que $\{1\}$ es un subconjunto compacto de $S$ que no está cerrado. Así, para un espacio de tipo III:

los singletons no son necesariamente cerrados, y por lo tanto los conjuntos compactos no son necesariamente cerrados.

Por otro lado, no podemos hablar de si compacto implica acotado o no, porque no tenemos noción de acotado.

Answer 2

Mi viejo teorema (es decir, de Włodzimierz Holsztyński) sobre mapas de límites inversos de ANRs, que involucra mapeos universales, se mantiene para espacios compactos Hausdorff generales. Dado que los dominios imagen de los mapas universales son conexos, esto significa que este teorema se refiere a los continuos compactos generales de Hausdorff. (Muy pronto tuve otra demostración mucho más elegante, y la había presentado muchas veces públicamente pero no impresa; no utilicé las secuencias generales de Smith-Moore en esa demostración más reciente).

Hay muchos resultados en la teoría de los puntos fijos, en la teoría de la dimensión y en los mapas universales que se aplican a los continuos generales de Hausdorff, es natural. Básicamente, casi todos los teoremas topológicos sobre continuos métricos permiten una versión compacta Hausdorff, y en la práctica la formulación de la generalización es natural.