Antigua pregunta del examen del MIT, ¿cómo la resuelvo?

Question

He estado revisando viejos exámenes de práctica del MIT y he encontrado una pregunta que me ha dejado perplejo. Dice así:

¿Qué valor para la constante $c$ hará que la función $e^{-x}\sqrt{1+cx}$ aproximadamente constante, para valores de $x$ cerca de $0$ ? (Muestra tu trabajo.)

La respuesta comienza diciendo que $e^{-x}\sqrt{1+cx} \approx (1-x)(1+\frac{cx}{2})$

No estoy seguro de dónde salió esto.

¿Puede alguien explicarme cómo se soluciona esto?

Answer 1

Son los dos primeros términos de cada serie de potencias para $e^{-x}$ y $\sqrt{1 + cx}$ .

Queremos que sea "aproximadamente constante" así que mirando la aproximación

$$f(x) = e^{-x}\sqrt{1+cx} \approx (1-x)\left(1+\frac{cx}{2}\right) = 1 + x\left(\frac{c}{2} - 1\right) - \frac{cx^2}{2}.$$

Tenemos que encontrar alguna manera de hacer esta constante cerca de $0$ . ¿Sabe usted algo sobre derivados que pueda ayudarle a resolverlo?

$$f'(x) = \frac{c}{2} - 1 - cx.$$

Estamos buscando cerca de $x = 0$ , y quieren $f$ sea constante. ¿Qué significa eso en términos de la derivada?

Answer 2

La idea es sustituir cada uno de los factores por su serie de Maclaurin,

$$e^{-x}\sqrt{1+cx}=\left(\sum_{n\ge 0}(-1)^n\frac{x^n}{n!}\right)\left(\sum_{n\ge 0}\binom{1/2}n(cx)^n\right)\;,$$

y luego aproximar esto ignorando los términos no lineales en las dos series:

$$e^{-x}\sqrt{1+cx}\approx (1-x)\left(1+\frac12cx\right)\;.\tag{1}$$

Nota: El coeficiente binomial $\binom{r}n$ es probablemente desconocida cuando $r$ no es un número entero no negativo; es sólo una abreviatura de $$\frac{r(r-1)(r-2)\dots(r-n+1)}{n!}\;,$$ así que $\binom{r}0=1$ y $\binom{r}1=r$ .

Multiplica el lado derecho de $(1)$ :

$$e^{-x}\sqrt{1+cx}\approx 1+\left(\frac{c}2-1\right)x-\frac12cx^2\;.$$

Se desea que esto sea aproximadamente constante cuando $|x|$ es pequeño. Para $x$ cerca de $0$ que cambia más rápido, $x$ o $x^2$ ? Es $x$ ¿correcto? El gráfico de $y=x^2$ es prácticamente horizontal cerca de $0$ mientras que el gráfico de $y=x$ tiene pendiente $1$ . Por lo tanto, usted quiere elegir $c$ para acabar con el $x$ término, por lo que $$e^{-x}\sqrt{1+cx}\approx 1-\frac12cx^2\;,$$ y la función es casi constante en $1$ para $x$ cerca de $0$ . Esto evidentemente significa tomar $c=2$ y finalmente hemos $$e^{-x}\sqrt{1+2x}\approx 1-x^2\approx 1$$ para $x$ cerca de $0$ .

Answer 3

Debería leer sobre Serie Taylor expansiones de funciones. Es una forma de aproximar funciones en un punto mediante una serie de potencias, o si se trunca, mediante un polinomio. Si esto es nuevo para ti, no te preocupes por algunas complicaciones subyacentes al hacer estas expansiones, sólo aprende a generarlas para funciones simples. Por ejemplo, $$ \exp(-x) \approx 1 - x + \tfrac{1}{2}x^2 - \tfrac{1}{6}x^3\,. $$

Answer 4

Hay una forma que es casi tan rápida, si no más, pero no utiliza la pista. Una función es constante si su derivada es $0$ Así que sólo hay que tomar la derivada y hacerla igual a $0$ , factorizar un poco y se llega a la ecuación $\frac12 c - 1 - cx = 0$ . Ahora bien, si $x=0$ entonces $c = 2$ .

Answer 5

$(1+cx)^\frac{1}{2} = 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n2^{2n-1}} \binom{2n-2}{n-1}c^n x^n .$ Por lo tanto, $$(1+cx)^\frac{1}{2} e^{-x} = (1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1}}{n2^{2n-1}} \binom{2n-2}{n-1}c^n x^n)(\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m x^m}{m!})\\ =1+ \sum_{n=1}^\infty (-1)^{n-1} (\sum_{k=0}^n \frac{1}{k2^{2k-1}} \binom{2k-2}{k-1}c^k \frac{1}{(n-k)!} ) x^n\\ =1+ (\frac{c}{2} -1)x+ (\frac{1}{2} - \frac{c}{2} - \frac{c^2}{8})x^2 +O(x^3)$$

Así, si el término lineal es cero (es decir, $c=2$ ), es $$1 - \frac{1}{2} x^2 +O(x^3). $$