¿Qué se sabe sobre la clasificación de las acciones de grupo n-transitivas para n grande sin utilizar la clasificación de los grupos simples finitos? Con la clasificación de grupos simples finitos se conoce una lista completa de todas las acciones de grupos 2-transitivos, en particular no hay grupos 6-transitivos aparte de los grupos simétricos y los grupos alternos. Quiero algo como "no hay acciones de grupo n-transitivas interesantes para n suficientemente grande" pero sin el teorema de clasificación (sin embargo, me alegraría si la n en esa afirmación fuera obscenamente grande). Incluso cualquier resultado parcial (pero incondicional) me interesaría (como que cualquier grupo n-transitivo para n suficientemente grande necesita tener las propiedades X, Y y Z).
Respuestas
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Marshall Hall's Teoría de los grupos finitos sólo cita un límite asintótico: un grupo de permutaciones de grado n que no sea S n o A n puede ser como mucho t-transitivo para t menor que 3 log n. Supongo que ese era el estado del arte en ese momento (finales de los 60). Hay un artículo anterior de G.A. Miller en JSTOR que se puede encontrar buscando "multiply transitive group".
Existe un teorema clásico de Jordan que clasifica agudamente los grupos de permutación cuádruplemente transitivos, es decir, aquellos para los que sólo la identidad estabiliza un conjunto dado de 4 elementos (de Wikipedia).
Existe un resultado clásico de Wielandt según el cual si se asume la conjetura de Schreier (que el grupo de automorfismo exterior de un grupo simple finito no abeliano es resoluble), entonces un grupo de grado n distinto de A_n o S_n es como máximo 7-transitivo. Por desgracia, la única prueba conocida de la conjetura de Schreier utiliza la clasificación de grupos simples finitos.
Bien, el teorema que $M_{11}$ y $M_{12}$ son los únicos bruscamente $k$ -grupos transitivos para $k> 3$ es unos 100 años más antiguo que el teorema de clasificación...
Además, si $k>3$ (sin la hipótesis aguda), $G$ debe ser simple, a menos que esté en $S_4$ . Por supuesto, para eso sirve la clasificación.
