Evolución estado-tiempo de un oscilador armónico cuántico con una función Dirac-Delta como estado inicial

Question

Tengo una pregunta como este problema Phys.SE aquí con la diferencia de que nuestro sistema es un oscilador armónico (en lugar de una partícula libre). Una partícula con masa $m$ está conectada a una cuerda con constante de resorte $k$ en $t=0$ con función de estado inicial $\psi(x)=\delta(x-x_0)$ . ¿Cuál es la función de estado en el momento $t$ y luego calcular el $<x>_t$ ?

Answer 1

Tenemos \begin{eqnarray*} \psi (x,t) &=&<x|\exp [iH(t-t_{0})]\psi (t_{0})>=\int dy<x|\exp [iH(t-t_{0})]|y>\psi (y,t_{0}) \\ &=&\int dyG(x,t;y,t_{0})\psi (y,t_{0}) \end{eqnarray*} y en tu caso $\psi (y,t_{0})=\delta (y-x_{0})$ . Aquí $H$ es el armónico oscilador armónico. Para la función de Green no pude encontrar una expresión en la web.