¿Cuál es la relación entre varias cosas llamadas holonómicas?

Question

Todo lo que sigue se denomina holonómico u holonomía:

1. Una restricción holonómica en un sistema físico es aquella en la que la restricción da una relación entre coordenadas que no implica en absoluto las velocidades. (Es decir, $r=\ell$ para el péndulo simple de longitud $\ell$ )
2. Un módulo D es holonómico (puede que no lo entienda muy bien) si las soluciones son localmente un espacio vectorial de dimensión finita, en lugar de algo más complicado dependiendo de en qué parte de la variedad se mire (esto es aparentemente una forma de ser muy sobredeterminado).
3. Una función suave es holonómica si satisface una EDO lineal homogénea con coeficientes polinómicos.
4. En un colector liso $M$ con el haz vectorial $E$ con conexión $\nabla$ la holonomía de la conexión en un punto $x$ es el subgrupo de $GL(E_x)$ dadas por las transformaciones que se obtienen transportando paralelamente vectores a lo largo de bucles a través de la conexión.

Está claro que todas ellas tienen algo que ver con las ecuaciones diferenciales, y entiendo por qué la 2 y la 3 están relacionadas, pero ¿cuál es el hilo conductor? ¿Es el 4 realmente el mismo tipo de fenómeno, o sólo estoy buscando conexiones por coincidencia terminológica?

Answer 1

No es una respuesta completa, pero tal vez desee consultar las Observaciones históricas al principio de la obra de Bryant. Avances recientes en la teoría de la holonomía que parece ofrecer una relación entre (1) y (4).

Answer 2

(En (2) se desea que las soluciones sean a dimensión finita espacio vectorial localmente).

(3) está relacionado con (2) en que el $D$ -El módulo correspondiente a la EDO que tiene esa función como solución es holonómico (esto es bastante obvio en términos de cómo has expresado la condición de que el espacio solución sea localmente de dimensión finita: esto es siempre cierto para las EDOs). En general, "holonómico" en (2) y (3) significa máxima sobredeterminación .

No hay ninguna otra conexión entre los cuatro significados.

Answer 3

No conozco la conexión entre los cuatro puntos, pero puede ayudar redefinir la holonomía en tu primer punto. Una restricción es generalmente una distribución regular (en el sentido de un subfondo del haz tangente de la variedad de configuración).

Si esa distribución es integrable, se dice que la restricción es holonómica. Y, de hecho, al restringir el sistema a una submanifold integral particular, se obtiene la definición de holonomía en su primer punto.

La cuestión es que, en mecánica, "holonómico" es sólo otra palabra para "distribución integrable". Si la distribución de restricciones no es integrable, el sistema se denomina "no holonómico".

¿Quizá eso ayude a establecer una conexión con el punto 4?

Answer 4

Creo que la etimología es algo así como "ley global".