Determinar el número de permutaciones de $ 1,2, \ldots ,8$ en el que ningún entero par está en su posición natural. Por favor, resuélvelo utilizando el concepto de desviaciones.
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Sea $S$ es el conjunto de todas las permutaciones de $\{1, 2, . . . , 8\}$ . Sea $A_1$ sea el conjunto de todas las permutaciones en $S$ que tiene $2$ en su posición natural; $A_2$ sea el conjunto de todas las permutaciones en $S$ que tiene $4$ en su posición natural; $A_3$ sea el conjunto de todas las permutaciones en $S$ que tiene $6$ en su posición natural y $A_4$ sea el conjunto de todas las permutaciones en $S$ que tiene $8$ en su posición natural. Entonces
$|A_1| = |A_2| = |A_3| = |A_4| = (8 − 1)!$ ,
$|A_1 ∩ A_2| = |A_1 ∩ A_3| = |A_1 ∩ A_4| = |A_2 ∩ A_3| = |A_2 ∩ A_4| = |A_3 ∩ A_4| = (8 − 2)!$ ,
$|A_1 ∩ A_2 ∩ A_3| = |A_1 ∩ A_2 ∩ A_4| = |A_1 ∩ A_3 ∩ A_4| = |A_2 ∩ A_3 ∩ A_4| = (8 − 3)!$ ,
$|A_1 ∩ A_2 ∩ A_3 ∩ A_4| = (8 − 4)!$ . Entonces el conjunto de permutaciones de $\{1, 2, . . . , 8\}$ en el que no hay enteros pares en sus posiciones nacionales es $\bar A_1 ∩ \bar A_2 ∩ \bar A_3 ∩ \bar A_4 $ y el número de elementos es $8! − 4 · 7! + 6 · 6! − 4 · 5! + 4! = 24024. $ $\blacksquare$
(Y también podemos utilizar esta identidad que está relacionada con el desvarío : $n! = \Sigma _{k=0}^n \binom {n}{k}D_{n-k}= \Sigma _{k=0}^n \binom {n}{k}D_{k}.$
Prueba: Sea $S$ es el conjunto de todas las permutaciones de $\{1, 2, . . . , n\}$ . Sea $A_k$ es el conjunto de todas las permutaciones que $k$ los enteros se fijan en sus posiciones. Entonces $|S|= n!$ y $|A_k| = \binom{n}{k}D_{n-k}$ . La identidad se deduce de la unión disjunta $S = \cup^{n}_{k=0} A_k.$ )
almagest
Puntos
1994
