Serie Taylor para $\frac{1}{1+e^z}$ y radio de convergencia

Question

He hecho alguna manipulación y he conseguido que $$\frac{1}{1+e^z} = \sum_{n=0}^\infty \frac{n!}{n!+z^n}$$ por el hecho de que:

$$\frac{1}{1+e^z}= \frac{1}{1+\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}}=\frac{1}{2}+\frac{1}{1+z}+\frac{1}{1+\frac{z^2}{2}}+\ldots = \frac{1}{2}+\frac{1}{1+z}+\frac{2!}{2!+z^2}+\frac{3!}{3!+z^3}+\ldots$$ $$= \sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{n!+z^n}$$

Suponiendo que he hecho bien lo anterior, tengo problemas para encontrar el radio de convergencia de la serie de Taylor dada anteriormente. He intentado la prueba de la relación, pero se quedó atascado.

Edición: Acabo de darme cuenta de que lo hice completamente mal, pensando que estaba tomando $$\sum\frac{1}{1+\sum_{n=0}^\infty\frac{z^n}{n!}}$$ .

¿Alguien podría ayudarme? Mi pregunta quiere que calcule los cuatro primeros términos de la serie de taylor para $\frac{1}{1+e^z}$ y hallar el radio de convergencia. ¿Quizá no quieren que encuentre realmente la forma explícita?

Answer 1

Supongo que quiere la serie Maclaurin, es decir, la serie Taylor sobre $0$ .

Escriba a $$1 + e^z = 2 (1 + Q(z))$$
donde $$Q(z) = \dfrac{z}{2\cdot 1!} + \dfrac{z^2}{2\cdot 2!} + \dfrac{z^3}{2\cdot 3!} + \ldots $$ Así que $$ \dfrac{1}{1+e^z} = \dfrac{1}{2(1+Q(z))} = \dfrac{1}{2} \left( 1 - Q(z) + Q(z)^2 - Q(z)^3 + \ldots \right) $$ Para $n \ge 1$ El $z^n$ de la serie de Taylor procede del $Q(z)^j$ términos de $j = 1$ a $n$ . Así pues, la serie es $\sum_{n=0}^\infty a_n z^n$ donde $$ \eqalign{ a_0 &= \dfrac{1}{2}\cr a_1 &= \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{2\cdot 1!}\right) = -\dfrac{1}{4}\cr a_2 &= \dfrac{1}{2} \left( - \dfrac{1}{2 \cdot 2!} + \dfrac{1}{(2 \cdot 1!)^2} \right) = 0\cr a_3 &= \dfrac{1}{2} \left( -\dfrac{1}{2 \cdot 3!} + \dfrac{2}{(2\cdot 1!)(2\cdot 2!)} - \dfrac{1}{(2 \cdot 1!)^3}\right) = \dfrac{1}{48}\cr \ldots}$$

El radio de convergencia es el radio del disco más grande alrededor de $0$ en el que $1/(1+e^z)$ es analítica, es decir, la distancia a los puntos más cercanos donde $1 + e^z = 0$ . Estos puntos son $\pm i\pi$ por lo que el radio de convergencia es $\pi$ .

Answer 2

Una opción es: Escribir $$\frac{1}{1 + e^z} \cdot (1 + e^z) = 1$$ y expandir los dos factores en la l.h.s. en series de Taylor" Puesto que $e^z \sim \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} z^k$ tenemos $$1 + e^z = 1 + \left(1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + O(z^5)\right) = 2 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \frac{z^4}{24} + O(z^5).$$

A continuación, se expande la serie de Taylor (t.b.d.) de $\frac{1}{1 + e^z}$ como $$a_0 + a_1 z + a_2 z^2 + a_3 z^3 + a_4 z^4 + O(z^5).$$

El producto de estas dos series es $$2 a_0 + (a_0 + 2 a_1) z + \left(\frac{1}{2}a_0 + a_1 + 2 a_2\right) + (\text{third- and fourth-order terms}) + O(z^5),$$ y la parte polinómica aquí debe coincidir con $1$ de cuarto orden. (Obsérvese que aquí sólo necesitamos considerar las expansiones de Taylor implicadas hasta el orden $4$ determinar $a_0, \ldots, a_4$ es decir, determinar la serie de Taylor deseada hasta ese orden).

Así, obtenemos un sistema de cinco ecuaciones lineales en los coeficientes $a_0, \ldots, a_4$ : \begin{align} 1 &= 2 a_0 \\ 0 &= a_0 + 2 a_1 \\ 0 &= \frac{1}{2} a_0 + a_1 + 2 a_2 \\ \vdots &= \vdots . \end{align} Resolviendo y sustituyendo se obtiene la serie de Taylor deseada.

Answer 3

Para ampliar mi comentario: $$\frac{1}{1+e^z}=\frac{1}{1-(-e^z)}=\sum_{n=0}^\infty (-e^z)^n$$ La serie converge si $|-e^z|<1$ .