Quiero averiguar por qué el conjunto de ceros de la función $g:\mathbb{R}^{2} \to \mathbb{R}$ definido como $g(x,y) = x^2 - y^2$ no es una variedad diferenciable. Así que lo que quiero usar es el siguiente resultado:
Sea $A \subset \mathbb{R} $ abierto, $p<n$ , $g:A \to \mathbb{R}^p$ de clase $C^1$ tal que $g'(x)$ tiene rango $p$ para todos $x \in A$ tal que $g(x)=0$ por lo tanto $g^{-1}(\{0\})$ es una variedad diferenciable en $\mathbb{R}^n$ de dimensión $n-p$ .
Así que calculé la matriz jacobiana
$$(2x \;\; -2y )$$
Entonces en el origen esto no tiene rango 1, es tiene rango $0$ y observamos que este es el único punto donde esto ocurre por lo tanto no puede ser una variedad diferenciable.
La otra cosa que intentaba hacer es poner un ejemplo de un sistema de coordenadas (comúnmente gráficos) donde falla alguna condición, y pensé en $F:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3$ como $F(x,y)=(x,y,x^2-y^2)$ y su jacobiano en cero tiene rango 3, pero no sé cómo proceder para encontrar la contradicción con mi definición de colector diferenciable :
Un subconjunto $M \subset \mathbb{R}^n$ es una variedad diferenciable de dimensión $k$ si, para cada $x \in M$ existen conjuntos abiertos $U \subset \mathbb{R}^k$ y $V \subset \mathbb{R}^n$ y una clase $C^1$ función $f:U \to V$ tal que:
1) $x \in V$
2) $f(U)=V \cap M$ , $f$ es un homeomorfismo
3) para cada $y \in U$ la matriz jacobiana tiene rango k
¿Pueden ayudarme a proceder o decirme si mi planteamiento es correcto? muchas gracias :)
